初中数学最值系列之胡不归问题

1最值系列之“胡不归”问题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．本文简单介绍“胡不归”模型．【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？V1V2V1驿道砂石地ABC【模型建立】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使21ACBCVV的值最小．V2V1MNCBA【问题分析】121121=VACBCBCACVVVV，记12VkV，即求BC+kAC的最小值．2【问题解决】构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．CH=kACsinα=CHAC=kHDαABCNM将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．MNCBAαDH【模型总结】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．3【2019长沙中考】如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则55CDBD的最小值是_______．ABCDE【分析】本题关键在于处理“55BD”，考虑tanA=2，△ABE三边之比为1:2:5，5sin5ABE，故作DH⊥AB交AB于H点，则55DHBD．HEDCBAABCDEH问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时45CDDHCHBE．【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：EDCB则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．αsinα=55HEDCBAEDCB4【2019南通中考】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则32PBPD的最小值等于________．ABCDP【分析】考虑如何构造“32PD”，已知∠A=60°，且sin60°=32，故延长AD，作PH⊥AD延长线于H点，即可得32PHPD，将问题转化为：求PB+PH最小值．MHPDCBA当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角△ABH即可得BH长．ABCDPHM5【2014成都中考】如图，已知抛物线248kyxx（k为常数，且k0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线33yxb与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？yxOABCD【分析】第一小问代点坐标，求解析式即可，此处我们直接写答案：A（-2,0），B（4,0），直线解析式为34333yx，D点坐标为5,33，故抛物线解析式为3249yxx，化简为：232383999yxx．另外为了突出问题，此处略去了该题的第二小问．点M运动的时间为12AFDF，即求12AFDF的最小值．FDCBAOxyMHFDCBAOxy接下来问题便是如何构造2DF，考虑BD与x轴夹角为30°，且DF方向不变，故过点D作DM∥x轴，过点F作FH⊥DM交DM于H点，则任意位置均有FH=2DF．当A、F、H共线时取到最小值，根据A、D两点坐标可得结果．6【2018重庆中考】抛物线2623663yxx与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当12PEEC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标．（为突出问题，删去了两个小问）EB1O1PABCFyxO【分析】根据抛物线解析式得A32,0、B2,0、C0,6，直线AC的解析式为：363yx，可知AC与x轴夹角为30°．根据题意考虑，P在何处时，PE+2EC取到最大值．过点E作EH⊥y轴交y轴于H点，则∠CEH=30°，故CH=2EC，问题转化为PE+CH何时取到最小值．HOxyFCBAPO1B1E考虑到PE于CH并无公共端点，故用代数法计算，设2623,663Pmmm，则3,63Emm，30,63Hm，2636PEmm，33CHm，22643646=226363PECHmmm5sin5ABE7当P点坐标为22,6时，取到最小值，故确定P、C、求四边形面积最小值，运用将军饮马模型解题即可．C1OxyFCBAPO1B1E