05第五章-应变分析

?第五章应变分析?单元体变形有两种形式：线单元的相对伸缩称为正应变；两个线单元间夹角的相对变化称为剪应变。应变是表示变形大小的物理量。物体变形时，质点必有位移；但质点有位移时却未必有变形；物体变形时，同时伴随有刚体运动(平动和转动)，应变分析时应该把刚体运动滤掉。应变状态可通过过一点的三个正交线单元的变形情况来确定。§5.1基本概念和应力分析相似，应变分析需要引入点的应变状态的概念。不同方向应变的大小是不同的。一点的应变状态需要一个应变张量来描述。应变张量和应力张量有着相似的性质。?考察物体变形前后平行于坐标轴的线单元在直角坐标系中的变化。一、直角坐标系中的应变分量线元rx的正应变为线元rx的倾角变化为rxryrxxyryrxryrxxyryooxxxrryyyrrxyxyxyrrtgyxyxyxrrtg§5.2小变形分析(一般指小于10-3的变形)线元ry的正应变为线元ry的倾角变化为?推广到三维空间，一个线元可以有一个正应变和两个倾角变化。因此描述一个单元体的变形可以有九个分量。以x-y坐标面上线单元的变化为例，真正那反映物体剪切变形的是两个线元倾角变化之和。两个倾角往往并不相等。为了和剪力互等相协调，定义一个互等的剪应变为)(21yxxyyxxy这一新定义没有改变变形的大小，只是相当于迭加了一个刚体转动。推广到三维空间，可以用一个应变张量确定一点的应变状态：zzyzxyzyyxxzxyxij一、直角坐标系中的应变分量?对于一个变形体而言，质点位移是位置的函数。质点是连续的，位移也是连续的。变形体各质点位移的总和构成物体的位移场。如何确定一点的位移？位移是矢量，它有三个分量，每个分量都是位置的函数。变形体的位移场可以用一组三个方程来表示：变形是由质点位移造成的。但是质点位移并不一定要造成变形。下面考察位移和表示变形的应变有什么关系。x方向位移y方向位移z方向位移),,(),,(),,(zyxwwzyxvvzyxuu二、位移函数?AyxuodxCBvdyA’C’B’B’’’B’’C’’’C’’为简单起见，考虑一个二维问题：设变形体上A(x,y)点位移为u(x,y)和v(x,y)，则某相邻点(x+dx,y+dy)的位移为A点移动到A’，位移为u和v。那么，与A点分别距离为dx和dy的B点和C点位移是多少？dvvdyyvdxxvyxvdyydxxvduudyyudxxuyxudyydxxu),(),(),(),(三、位移与应变之间的关系(几何方程)?对于B点，可以看成是：1)刚体运动至B’点，位移为u，2)在x方向移动至B’’点，位移增量(B’B’’)为3)在y方向移动至B’’’点，位移增量(B’’B’’’)为根据应变的定义：同样，对于C点，有dxxududxxvdvC’C’’=C’’C’’’=dyyududyyvdv线元AB的正应变：线元AC的正应变：线元AB和AC的剪应变：xuBABBx'''''yvCACCy''''')(21)''''''''''''''(21xvyuCACCBABByxxy三、几何方程（续）?推广至三维空间，便得到位移与应变关系的所谓几何方程:根据求和约定，上述六式可以简记为：)(21)(21)(21;;zuxwywzvxvyuzwyvxuxzzxzyyzyxxyzyx)(21ijjiijxuxu注：六个应变分量是从三个位移分量得出，因此不是相互独立的。它们需要满足一组关系式(称为协调方程)。三、几何方程（续）?变形后线元在坐标轴上的投影为rdznrdymrdxldzdydxr;;2222设该线元的长度为r,在坐标轴上的投影为dx,dy,dz，则如某点变形后应变状态为，那么过该点方向余弦为l,m,n线元变形后相应的应变如何求得？ij2222)()()()(dwdzdvdydudxdrrdwdzdvdydudx;;变形后线元长度变为:四、单元体任意方向上的应变?又知展开上式、减去r2并略去高阶微量，得：dzdwdydvdxdurdrdzzwdyywdxxwdudzzvdyyvdxxvdvdzzudyyudxxudurdznrdymrdxlrdrr;;;)(2)()()(222222nlmnlmnmlnlzuxwmnywzvlmxvyunzwmyvlxuzxyzxyzyxr代入整理得：四、单元体任意方向上的应变?上式中将应变分量换成应力分量，便得到求斜面上正应力的公式。对于斜线元的剪应变，也有类似的关系。这表明应变张量和应力张量在形式上是一致的。同理，应变张量和应力张量一样具有张量的一切特征：不变量(第一不变量当体积不变时等于零)、应变张量的分解、主应变、主剪应变、应变莫尔圆等。等效应变与等效应力形式上类似，仅系数不同：五、应变张量的一些相关概念?1、应变张量的分解000000000000zzyzxyzyyxxzxyxij上式可简记为：应变偏张量也有三个不变量I1’,I2’,I3’。其中I1’=0前一个张量对应着材料的形状变化，称为应变偏张量；后一个张量对应着体积变化，称为应变球张量。)(31zyxmmijijije?2、主应变、应变主轴和主剪应变zzyzxyzyyxxzxyxij032213IIIzzyzxyzyyxxzxyxyyxxyxzzxxzxzzyyzyzyxIII321A)主应变、应变主轴?2/)(2/)(2/)(211213313223321000000ijB)主剪应变?3、八面体应变和等效应变)(6)()()(32)()()(3222222222132322218zxyzxyxzzyyx131831)(ImzyxA)八面体应变213232221)()()(31)(6)()()(312222228zxyzxyxzzyyxB)等效应变?特别地对于塑性应变而言，常会用到应变增量和应变速率的概念。原因有二：1)几何方程是从小变形推出的，而塑性变形的全过程往往是大变形；2)应力全量和应变全量之间一般不存在单值关系，应变增量只取决于当时的应力全量。用应变增量表示的几何方程为：))()((21ijjiijxduxdud两边除以dt便得到用应变速率表示的几何方程：))((21))()((21ijjiijjiijijxuxudtxdudtxdudtd七、应变增量和应变速率张量?练习一：冲头自上而下以速度压向一圆柱体使其均匀变形，求其垂直方向的应变速率。0uX)(0hu练习二：冲头自上而下压下，使圆柱体其均匀变形，求其位移场。h练习三：物体一平面的法向为主应变方向。在该平面上贴应变片测得方向正应变。试根据莫尔圆上的几何关系求各主应变。00090,45,0?§5.3变形协调方程与塑性变形时的体积不变条件)xv(yxx)yu(yxy22y222x2一、变形协调方程在几何方程中，六个应变分量取决于三个位移分量对x、y、z的偏导数，所以六个应变分量不能是相互无关的函数，它们之间应有一定的关系，才能保证物体中的所有单元体在变形之后仍然可以连续地组合起来，这样的关系就叫变形连续方程或协调方程。yxxvyuyxxyxyyx2222222)(?一、变形协调方程)(21)(21)(21222222222222222zxxzyzzyxyyxxzzxzyyzyxxy描述坐标平面内应变分量之间的关系?)(213232zyxuzxvzxxy)(213232zyxuyxwyxzx)(21232322yxwzxvxyzzyxuzyx22yxzyxzxzyxzyzyxzyxzxyzxyzyzxyzxyxyzxyzx222)()()(描述不同平面中应变分量之间的关系?和塑性变形相比，弹性变形往往小到可以忽略不计的程度。于是就得到体积不变条件，使问题简化。设单元体初始长度为dx,dy,dz，则初始体积为(dxdydz)。小变形时，可以认为只有正应变才会引起体积变化，变形后体积为000zyxVVV体积不变条件意味着单元体的体积变化率为零：dxdydzdzdydxVzyxzyx)1()1()1(()1(二、塑性变形时的体积不变条件