均值不等式教学设计(宋国鸣)

北京市中小学“京教杯”青年教师教学设计大赛1教学基本信息课题均值不等式是否属于地方课程或校本课程否学科数学学段：高一第二学段年级高一教材书名：普通高中课程改革标准实验教科书数学必修5出版社：人民教育出版社出版日期：2015年6月教学设计参与人员姓名单位联系方式设计者宋国鸣北京师范大学良乡附属中学13699107527实施者宋国鸣北京师范大学良乡附属中学13699107527指导者张吉刘雪明卢寒芳房山区教师进修学校135213992681368135438313401011498其他参与者李砚书北京师范大学良乡附属中学15810522494指导思想与理论依据1.指导思想新课程倡导学生自主探究、动手实践、合作交流，体验数学发现和创造的历程，深刻地理解基本结论的本质，力求对客观事件蕴涵的数学模型进行思考判断，能够从数学的角度看待问题，用数学的思维思考问题，用数学的方法解决问题.本节课中教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，注重对学生的基本数学能力、数学素养和学习潜能的培养，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识.2．理论依据皮亚杰的建构理论认为，知识必须由主体自我建构，因此课堂中教师要为学生创设学习情境，促进学生主动参与，主动思考，使学生感受到自主探究式学习显得非常重要.建构主义还强调：（1）学生在学习的过程中不是对教师所传授的知识的被动接受，而是以自身已有知识和经验为基础主动地建构；（2）学生在学习的过程中不断地对已有的认知结构做必要的调整和更新、使它适应新的学习并实现“整合”；（3）学生的学习过程是一个需要不断同外界交流发展和改进的过程。教学背景分析1.内容分析均值不等式选自普通高中课程标准实验教科书(人教B版)必修5第三章第2节内容。是不等式这一章的核心，是在不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，在各种不等式的研究中均有着广泛的应用，在知识体系中起着承上启下的作用.对于利用均值不等式求最值等实际问题都起到工具北京市中小学“京教杯”青年教师教学设计大赛2性作用.从知识的应用价值看，均值不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴含的数学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理等）；从内容的人文价值上看，均值不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体.2.学情分析（1）知识层面：学生已经学习了不等关系和不等式，对不等式有了感性的认识.（2）能力层面：学生掌握了解决不等式问题的基本方法，能够解决简单的问题，具备一定的分析能力.（3）情感层面：学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性。但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡.3.教学方法建构理论认为，知识必须由主体自我建构，为了激发学生的学习兴趣,自主建构知识、形成方法提高课堂实效性,本节课主要采用的是“教师引导、学生探究”的教学模式.教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，通过启发式、谈话式、讲授式等教学方法引导学生主动参与、揭示本质、经历过程.4.教学手段：多媒体辅助教学5.技术准备：PPT、实物投影仪教学目标、重难点教学目标：1.知识与技能：了解均值不等式的形成过程，能够从文字语言、符号语言、图形语言等方面理解均值不等式。2.过程与方法：在均值不等式的推导过程中，了解不等式的基本证明方法，培养推理论证能力；通过对均值不等式的简单应用，体会类比、数形结合等思想方法。3.情感、态度与价值观：认识到数学从实际中来，学会用数学思维认知世界，养成勤于动手善于思考的良好品质。教学重难点1.重点：均值不等式的形成过程2.难点：理解均值不等式及其初步应用教学流程示意(可选项)北京市中小学“京教杯”青年教师教学设计大赛3初探均值不等式创设情境证明均值不等式符号语言概念形成文字语言数列观点概念深化图形语言应用举例完善不等式链归纳小结构建知识体系教学过程(文字描述)教学环节教学内容学生活动设计意图创设校园内有一个边长分别为a和b(a0,b0)的矩形花坛，以及三个正方形花坛,①第一个正方形花坛与矩形花坛的周长相等，设它的边长为x1；②第二个正方形花坛与矩形花坛的面积相等，设它的边长为x2；③第三个正方形花坛面积与周长的比值和矩形花坛面积与周长的比值相等，设它的边长为3x.问题：1.你能分别用a和b表示123,,xxx吗?2.你能比较123,,xxx的大小吗？3.你能尝试证明不等式2abab吗？4.在证明过程中，这个不等式什么时候取得1.动手操作，计算求出123,,xxx2.观察、思考、发现不等式22abababab由一名同学说出结论3.动手操作，尝试证明不等式2abab，由一名同学板演证明过程，其他同学书写在学案上4.认真思考，发现ab时，取得“=”，并且只有此时取得“=”1.初探均值不等式：由生活实际入手，通过简单的比较123,,xxx的大小，直观感知均值不等式；同时，由生活实际激发学生学习兴趣，认识到数学和现实生活是密切联系的，数学来源于生活，应用于生活，“数学美化北京市中小学“京教杯”青年教师教学设计大赛4情境“=”？生活”。2.再探均值不等式：通过证明均值不等式，引领学生从感性认识到理性证明，进而培养勤于思考、勇于探索的数学品质。通过不等式成立条件、等号取得条件的探究，培养严谨的数学思维。概念形成均值定理：如果,abR，那么2abab当且仅当ab时，等号成立算术平均数：2ab几何平均数：ab文字语言：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.数列观点：两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项.1.完善上面不等式结论，概括出均值定理内容，注意均值定理的使用条件以及等号成立条件2.尝试将均值定理的符号语言转化成文字语言，进一步理解均值定理3.数列观点再次认识均值定理1.三探均值不等式：通过符号语言、文字语言、数列观点的相互联系，构建知识体系，锻炼数学思维。2.培养学生的抽象概括能力，强化学生分析问题、解答问题的能力。概念深化练习：如图，在以AB为直径的圆O中，线段=,ADaDBb，过D点作CDAB于D,交圆于点C问题：1.你能用,ab表示出线段CD的长度吗？1.利用初中所学知识，用,ab表示出线段CD的长度，得到=CDab，发现几何平均数的几何度量2.构造出算术平均数2ab的几何度量3.观察图形，得到等号成立条件，通过图形语言，多角度的理解均值不等式1.深探均值不等式：体会均值不等式的图形语言，完善知识构建，学会多角度思考问题。2.体会数形结合思想，提升数学思维。COABD北京市中小学“京教杯”青年教师教学设计大赛52.你能在这个图形中构造出算术平均数2ab的几何度量吗？3.在图形中何时得到=2abab？均值不等式的几何解释：半径不小于半弦举例应用例题:已知,abR,证明:2ababab（2abab可以变形为211ab,叫做两个正数的调和平均数）1.积极思考，证明不等式2.一部分同学利用投影仪展示证明过程，其他同学补充完善3.了解完善不等式链1.通过均值不等式的简单应用，理解均值不等式的内涵，将均值不等式内化提高。2.通过部分同学展示，锻炼语言表达能力，培养推理论证能力。体会学习成功带来的喜悦。3.通过不等式链的完善，了解均值不等式的外延，螺旋上升构建知识体系。归纳小结引导学生回顾本节课所学的知识及数学思想方法1.均值定理的符号语言、文字语言、图形语言的相互统一；2.均值定理的使用条件，等号成立条件；3.了解调和平均数，几何平均数，算术平均数的大小关系；4.类比、数形结合的数学思想方法1.认真思考，从知识、思想方法等层面概括总结本节课知识2.部分同学口述表达，其他同学补充完善1.培养抽象概括能力、语言表达能力。2.循序渐进，构建知识系统，促使知识形成正向迁移1.课本P72练习B组1,2习题3-2A组11.积极思考，完成作1.作业1的设北京市中小学“京教杯”青年教师教学设计大赛6布置作业2.已知,,,abcRabcabacbc求证：3.想一想:(1)222ab叫做两个正数的平方平均数,你能明确它和本节课所学的几个平均数的大小关系吗?(2)为进一步美化校园,需要再建一个和第一个矩形花坛的面积一样大的矩形花坛,问这个新建矩形花坛的长、宽各为多少时,可以使新建矩形花坛的外围用料最省?业置主要是巩固完善本节课所学，是均值不等式的直接应用，进一步提高推理论证能力。2.作业2的设置是体会均值不等式的变形应用，螺旋上升。3.作业3（1）的设置是进一步完善均值的不等式链，进一步构建完善知识体系，提高分析问题、解决问题的能力，通过类比均值不等式的表达形式，尝试用多种形式感受这个不等式。4.作业3（2）的设置将均值不等式进一步应用于生活实际，与情景设置中的引入问题相呼应，学生进一步感受数学与实际生活之间的联系，并且在解决问题的过程中，再次感受均值不等式等号的成立条件，为下一节课均北京市中小学“京教杯”青年教师教学设计大赛7值不等式的应用做好铺垫。学习效果评价设计评价量规1、这节课给你的总体感觉如何？（）A、效果很好B、还可以C、不好D、不知道2、你觉得老师对整个课堂的把握能力如何？（）A、很自如B、一般C、不好D、不知道3、请你给这节课的课件做个评价（）A、很形象，很好，对学习内容很有帮助。B、还可以，有利于接受教学内容。C、无所谓，可有可无。D、不好，根本对学习没有帮助。E、不知道该怎么说，不好评价。4、类似本堂课的学习方法，有助于你养成积极探索的学习习惯吗？A、很有帮助B、有些帮助C、基本上没有帮助D、不知道5、你对本课的学习内容理解和掌握程度有（）A、80—100%B、60—80%C、＜60%D、不知道该怎么说6、经自主学习后，你能否很好地运用所学知识点去完成相关的思考问题：A、能B、基本上能C、不能7、排除形式上的新鲜感，对数学课，你认为这节课与平时的课堂教学相比，你更喜欢哪一种？A、平时的B、这节课的C、都不喜欢本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)1.践行“学生是数学学习的主人”这一基本理念，始终体现学生是教学活动的主体。通过初探均值不等式、再探均值不等式、三探均值不等式、深探均值不等式等活动，加深了对基本不等式的理解，初步形成知识迁移能力与创新思维。这样的设计符合最近发展区学说。2.不同于以往的教学设计中，过度关注均值不等式使用条件中的“正”、“定”、“等”，本节课更加关注知识的形成过程以及知识体系的构建。3.注重数学在实际生活中的应用价值。情景设置中的引入以及课后布置作业中的想一想，都来源于生活，学生感受到了数学与实际生活的联系，感受到“数学美化生活”。注重学生数学建模能力的培养，学生学会从数学的角度看待问题，用数学的思维思考问题，用数学的方法解决问题。提高数学思维能力，发展数学应用意识和创新意识，培养数学素养。