2020高一数学新教材必修1教案学案-专题3.2-函数的基本性质(第二课时)(解析版)

13.2函数的性质（第二课时）2运用一奇偶性的判断【例1】(1)f(x)＝2221xxx；(2)f(x)＝x3－2x；(3)f(x)＝x2＋1；(4)f(x)＝2211xx．（5）f(x)＝x2＋2x＋3，x0－x2＋2x－3，x0，【答案】（1）非奇非偶（2）奇函数（3）偶函数（4）即奇又偶（5）奇函数【解析】(1)函数的定义域为(－∞，－1)(－1，＋∞)不关于原点对称，故函数f(x)既不是奇函数，又不是偶函数．(2)函数的定义域为R．[∵f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝－(x3－2x)＝－f(x)，∴函数f(x)＝x3－2x是奇函数．(3)函数的定义域为R．(方法一)∵f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，∴函数f(x)＝x2＋1是偶函数．(方法二)画出y＝x2＋1的图象如图，由图可知其图象关于y轴对称．故函数f(x)＝x2＋1是偶函数．(4)∵函数的定义域为{－1,1}且f(x)＝0，f(－1)＝0，f(1)＝0，∴f(－1)＝f(1)且f(－1)＝－f(1)．∴函数f(x)＝2211xx既是奇函数，又是偶函数．（5）当x0时，－x0.f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3＝－f(x)．当x0时，－x0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)，综上可知f(x)为奇函数．【触类旁通】1.判断下列函数的奇偶性（1）f（x）=𝑥1+𝑥2（2）f（x）=𝑥3−𝑥2𝑥−1【思路总结】首先判断函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的情况下，判断f(x)与f(－x)之间的关系．3（3）f（x）＝x2，x∈[﹣2，3]．(4)f(x)＝4－x2|x＋3|－3；（5）f（x）={(x+5)2−4，x∈(−6，−1](x−5)2−4，x∈[1，6)【答案】（1）定义域为R，关于原点对称，f（﹣x）=−𝑥1+(−𝑥)2=−𝑥1+𝑥2=−f（x），∴f（x）是奇函数；（2）定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，非奇非偶函数；（3）定义域为{x∈[﹣2，3]，不关于原点对称，非奇非偶函数．（4)由4－x2≥0，|x＋3|－3≠0，得x2≤4，x≠0，且x≠－6，∴－2≤x≤2且x≠0，关于原点对称，∴f(x)＝4－x2|x＋3|－3＝4－x2x＋3－3＝4－x2x，∵f(－x)＝4－x2－x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．（5）函数f（x）={(𝑥+5)2−4，𝑥∈(−6，−1](𝑥−5)2−4，𝑥∈[1，6)的定义域（﹣6，﹣1]∪[1，6）关于原点对称，当x∈（﹣6，﹣1]时，﹣x∈[1，6），此时f（x）＝（x+5）2﹣4，f（﹣x）＝（﹣x﹣5）2﹣4＝（x+5）2﹣4，即f（x）＝f（﹣x）；当x∈[1，6）时，﹣x∈（﹣6，﹣1]，此时f（x）＝（x﹣5）2﹣4，f（﹣x）＝（﹣x+5）2﹣4＝（x﹣5）2﹣4，即f（x）＝f（﹣x）；综上，f（x）＝f（﹣x）在定义域内恒成立，故数f（x）={(𝑥+5)2−4，𝑥∈(−6，−1](𝑥−5)2−4，𝑥∈[1，6)为偶函数2.设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）是偶函数B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（﹣x）是奇函数D．|g（x）|是奇函数【答案】C【解析】∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，4∴f（﹣x）为奇函数，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f（x）g（x）为奇函数，|f（x）|g（x）为奇函数，故选：C．运用二利用奇偶性求解析式【例2】（1）已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式．（2）已知f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式．【答案】（1）f(x)＝x2－x－1（2）f(x)＝x3＋x＋1，x0，0，x＝0，x3＋x－1，x0.【解析】（1）设x0，则－x0.∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1.∴f(－x)＝x2－x－1.∵函数f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)＝x2－x－1.（2）∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.设x0，则－x0，∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1.又∵f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)．∴－f(x)＝－x3－x＋1，即f(x)＝x3＋x－1.∴x0时，f(x)＝x3＋x－1，∴f(x)＝x3＋x＋1，x0，0，x＝0，x3＋x－1，x0.【触类旁通】1.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x，求函数f（x）（x∈R）的解析式；【答案】f（x）={𝑥2+2𝑥，𝑥≤0𝑥2−2𝑥，𝑥＞0【解析】∵f（x）是偶函数，∴若x＞0，则﹣x＜0，则当﹣x＜0时，f（﹣x）＝x2﹣2x＝f（x），即当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x．即f（x）={𝑥2+2𝑥，𝑥≤0𝑥2−2𝑥，𝑥＞0．2.已知f（x）是实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝﹣2x2+3x+1．（1）求f（0）的值；（2）求当x＜0时，f（x）的解析式；（3）求f（x）在R上的解析式．5【答案】（1）0（2）f（x）＝2x2+3x﹣1（3）f（x）={−2𝑥2+3𝑥+1(𝑥＞0)0(𝑥=0)2𝑥2+3𝑥−1(𝑥＜0)【解析】（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣0）＝﹣f（0），∴f（0）＝﹣f（0），∴2f（0）＝0，∴f（0）＝0（2）当x＜0，即﹣x＞0时，f（﹣x）＝﹣2（﹣x）2+3（﹣x）+1＝﹣2x2﹣3x+1．由于f（x）是奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴﹣f（x）＝﹣2x2﹣3x+1，∴f（x）＝2x2+3x﹣1（x＜0）（3）在实数集R上函数f（x）的解析式为：f（x）={−2𝑥2+3𝑥+1(𝑥＞0)0(𝑥=0)2𝑥2+3𝑥−1(𝑥＜0)运用三利用奇偶性求参数【例3】（1）函数y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具有奇偶性，则a＝________.（2）若函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，则实数a的值为。（3）（2019·浙江高二期末）若函数f(x)=21xax(a∈R)是奇函数，则a的值为（）A．1B．0C．－1D．±1【答案】（1）1（2）1或−12（3）B【解析】（1）由题意知，区间[2a－3，a]关于原点对称，∴2a－3＝－a，∴a＝1.（2）：∵函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），即f（﹣x）＝ax2﹣（2a2﹣a﹣1）x+1＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1，即﹣（2a2﹣a﹣1）＝2a2﹣a﹣1，∴2a2﹣a﹣1＝0，解得a＝1或a=−12，（3）由题意，函数21xafxx是定义域R上的奇函数，根据奇函数的性质，可得00f，代入可得200001af，解得0a，故选B.【触类旁通】1．如果定义在区间[3−𝑎, 5]上的函数𝑓(𝑥)为奇函数，则𝑎=___．【答案】8【解析】因为𝑓(𝑥)为奇函数由奇函数的性质可知，奇函数的定义域关于原点中心对称6即3−𝑎=−5解得𝑎=82．（2019·上海高一期末）设𝑓(𝑥)=𝑥2+(𝑚−4)𝑥+2为偶函数，则实数𝑚的值为________.【答案】4【解析】因为𝑓(𝑥)=𝑥2+(𝑚−4)𝑥+2为偶函数，所以𝑓(−𝑥)=𝑥2−(𝑚−4)𝑥+2=𝑓(𝑥)=𝑥2+(𝑚−4)𝑥+2,故−(𝑚−4)=𝑚−4，解得𝑚=4.故填4.运用四奇偶性单调性的综合运用【例4】（1）设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)0，求实数m的取值范围．（2）（2019·榆林市第二中学高二期末（文））已知偶函数()fx在区间[0,)单调递增，则满足1(21)()3fxf的x取值范围是（）A．12,23B．12[,)33C．12(,)23D．12(,)33(3)已知函数22()(2)fxaxaxa为偶函数，则不等式(2)()0xfx的解集为（）A．(2,2)(2,)B．(2,)C．(2,)D．(2,2)（4）．已知f(x)是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是()A.f(－0.5)＜f(0)＜f(1)B.f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)C.f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)D.f(－1)＜f(0)＜f(－0.5)【答案】（1）[－1，12)．（2）D（3）A（4）C【解析】（1）由f(m)＋f(m－1)0，得f(m)－f(m－1)，即f(1－m)f(m)．又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[－2,2]上为奇函数．∴f(x)在[－2,2]上为减函数．∴－2≤1－m≤2，－2≤m≤2，1－mm.即－1≤m≤3，－2≤m≤2，m12，解得－1≤m12.∴实数m的取值范围[－1，12)．[来源:Z*xx*k.Com](2)已知偶函数()fx在区间[0,)单调递增，则在区间(,0)单调递减.11112(21)()2133333fxfxx故答案选D7（3）∵函数222fxaxaxa为偶函数，∴20a，得2a，∴224fxx，∴不等式20xfx可转化为200xfx或200xfx，即22240xx或22240xx，解得22x或2x.综上，原不等式的解集为2,22,.故选A.（4）∵函数f(x)为偶函数，∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．又∵f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)，故选C.【触类旁通】1．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数，若f(a)≥f(－2)，则a的取值范围是()A.a≤－2B.a≥2C.a≤－2或a≥2D.－2≤a≤2【答案】D【解析】由已知，函数y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，若a0，由f(a)≥f(－2)得a≥－2；若a≥0，由已知可得f(a)≥f(－2)＝f(2)，a≤2.综上知－2≤a≤2.答案：D.2．（2019·黑龙江铁人中学高三开学考试（文））已知fx是定义在2,1bb上的偶函数，且在2,0b上为增函数，则12fxfx的解集为（）A．21,3B．11,3C．11,3D．1,13【答案】B【解析】由于函数yfx是定义在2,1bb上的偶函数，则定义域关于原点对称，210bb，得1b，所以，函数yfx的定义域为2,2，由于函数yfx在区间2,0上单调递增，则该函数在区间0,2上单调递减，由于函数yfx为偶函数，则fxfx，由12fxfx，可得12fxfx，则12212222xxxx，解得113x.因此，不等式12fxfx的解集为11,3，故选：B.83．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则0fxx的解集为_________