趣味数学-有趣的拓扑学

张家港高级中学校本课程趣味数学4有趣的拓扑学储聪忠不可能的画图形艺术家莫里茨·柯内里斯·埃舍尔埃舍尔把自己称为一个图形艺术家，他专门从事于木版画和平版画。他的作品中数学的原则得到了非同寻常的形象化。他工作中经常直接用平面几何和射影几何的结构，这使他的作品深刻地反映了非欧几里德几何学的精髓，他也被悖论和不可能的图形结构所迷住，并且使用了罗杰·彭罗斯的一个想法发展了许多吸引人的艺术成果。《瀑布》塔楼上泻下来的一道瀑布，推动了磨坊的水轮，可是下面承水池中的水流过水槽，居然又回到了瀑布的源头！这岂不是物理上批驳得体无完肤的、古人曾经梦寐以求的“永动机”吗？《上天入地》1963年的作品，是一幅宗教色彩极为浓重的画。一座教学建筑的中间有座天井，屋顶周围砌有楼梯，两队不知疲倦的僧侣不停地行走，一队永远向上走，另一队永远向下走，拐一四次弯后，都又回到了原地，而且大家都在同一座楼梯上。《观景楼》有一种“恐怖”魅力。地牢里囚禁着一个“犯人”正在绝望地探头向外，三楼上则站立着一位贵妇悠然处得地眺望远景。威谦·霍加恩的《歪曲的透视1754年利用透视原理所作的作品前景中的渔夫把钓竿伸入小溪中静静垂钓，而与他离得很远的站立者居然也想插上一脚。更为荒谬的是，倚身窗口的一个老太婆竟然点着了远处山岗上游客的烟斗，同他攀谈。其他的例子神奇的克莱因瓶克莱因瓶（Kleinbottle）是指一种无定向性的平面，没有“内部”和“外部”之分。克莱因瓶最初的概念是由德国数学家菲利克斯·克莱因提出的。克莱因瓶的结构简单，一个瓶子底部有一个洞，现在延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。这个物体没有“边”，它的表面不会终结。它也不类似于气球，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面。克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面。如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中，我们只好将就点，把它表现得似乎是自己和自己相交一样。事实上，克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。在我们这个三维空间中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模样；就好像最高明的画家，在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。如果把克莱因瓶沿着它的对称线切下去，竟会得到两个莫比乌斯环.克莱因瓶是数学家克莱因先生脑子里头的“虚构物”，根本制造不出来。许多数学家想造它一个出来，作为献给国际数学家大会的礼物。然而，等待他们的是一个失败接着一个失败。但实际上，克莱因瓶已经被人制造出来了。英国贝德福德的一位玻璃吹制工AlanBennett，数学家本会通过计算来尝试解决这个难题，而Bennett则用玻璃解决了它。剪开的克莱因瓶有趣的拓扑学拓扑学（topology）是近代发展起来的一个数学分支，用来研究各种“空间”在连续性的变化下不变的性质。哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。如七桥问题SevenBridgesProblem18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。欧拉定理在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。四色问题又称四色猜想。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里发现：每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，做了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。学科简介Topology原意为地貌，拓扑学主要研究“拓扑空间”在“连续变换”下保持不变的性质。简单的说，拓扑学是研究连续性和连通性的一个数学分支。等价在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，圆和方形、三角形的形状、大小不同，但在拓扑变换下，它们都是等价图形；足球和橄榄球，也是等价的----从拓扑学的角度看，它们的拓扑结构是完全一样的。而游泳圈的表面和足球的表面则有不同的拓扑性质，比如游泳圈中间有个“洞”。在拓扑学中，足球所代表的空间叫做球面，游泳圈所代表的空间叫环面，球面和环面是“不同”的空间。性质“连通性”最简单的拓扑性质。上面所举的空间的例子都是连通的。而“可定向性”是一个不那么平凡的性质。我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。这样的空间是可定向的。而德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面不能用不同的颜色来涂满。莫比乌斯曲面是一种“不可定向的”空间。可定向性是一种拓扑性质。莫比乌斯带公元1858年，德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790～1868）和约翰·李斯丁发现：把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这种纸带被称为“莫比乌斯带”。亲手实验拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，粘成一个莫比乌斯带。用剪刀沿纸带的中央把它剪开。会出现什么结果？把上述纸圈，再一次沿中线剪开，又会出现什么结果？新作一个莫比乌斯带，沿靠边缘1/3处剪开，会出现什么结果？再拿一张白的长纸条，一端旋转360度后让两端粘在一起，用剪刀沿纸带的中央把它剪开会出现什么结果？莫比乌斯带的性质莫比乌斯带是一种拓展图形，它们在图形被弯曲、拉大、缩小或任意的变形下保持不变，只要在变形过程中不使原来不同的点重合为同一个点，又不产生新点。拓扑学又称橡皮几何学。莫比乌斯带有奇异的特性。一些在平面上无法解决的问题，却不可思议地在莫比乌斯带上获得了解决。如在普通空间无法实现的手套易位问题：人左右两手的手套虽然极为相像，但却有着本质的不同。我们不可能把左手的手套贴切地戴到右手上去；也不能把右手的手套贴切地戴到左手上来。倘若你把它搬到莫比乌斯带上来，那么解决起来就易如反掌了。