傅里叶变换及其应用

PureMathematics理论数学,2014,4,138-143PublishedOnlineJuly2014inHans.://dx.doi.org/10.12677/pm.2014.44021138TheFourierTransformandItsApplicationRuihuaCaoSchoolofMathematicsandComputerScience,ShanxiNormalUniversity,LinfenEmail:[e-mail]:Jun.14th,2014;revised:Jul.12th,2014;accepted:Jul.19th,2014Copyright©2014byauthorandHansPublishersInc.ThisworkislicensedundertheCreativeCommonsAttributionInternationalLicense(CCBY).傅里叶变换及其应用曹瑞华山西师范大学数学与计算机科学学院，临汾Email:[e-mail]收稿日期：2014年6月14日；修回日期：2014年7月12日；录用日期：2014年7月19日摘要傅立叶变换不仅是一个非常重要的积分变换，而且是一种重要的数学方法。在数学领域的许多分支，傅里叶变换都起着非常重要的应用，如偏微分方程、概率、复变函数与数学分析。本文首先简单介绍了傅里叶变换的概念及其基本性质，然后给出了它在偏微分方程中的一些应用。傅里叶变换及其应用139关键词傅里叶变换，偏微分方程1.引言L.kelvin说：傅里叶理论不仅是现代分析中最美妙的结果之一，而且可以说，它为现代物理中每一个深奥问题的处理提供了一件必不可少的工具。随着近代物理的飞速发展，越来越多的实际问题需要用偏微分方程的理论来解决。如尖端的激光理论，生物数学和非线性科学中的许多问题等。为了求解这些复杂的方程，得到它们解的表达式，傅里叶变换成了主要的工具，它在庞大的偏微分理论系统中闪耀着光芒。傅里叶变换是一类重要的积分变换，而积分变换能够将分析运算转化为代数运算，正是由于积分变换这一特性，在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的方法之一。用傅里叶变换求解偏微分方程就如同用对数变换计算数量的乘积或商一样简便，在这种变换下，偏微分方程可以减少自变量的个数直至变成常微分方程。2.傅里叶变换的概念及基本性质[1]-[5]傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。2.1.连续傅里叶变换的概念定义：假使函数()fx在(),−∞+∞内绝对可积，我们称()edixfxxλ+∞−−∞∫是()fx的傅里叶变换，并把它记为()Fλ或()ˆfλ，即：()()()ˆedixFffxxλλλ+∞−−∞==∫。并称()()1ˆed2πixfxfλλλ+∞−∞=∫为()ˆfλ的傅里叶逆变换。2.2.离散傅里叶变换的概念定义：设()fk为周期为N的周期序列，则称和式()()()10ˆeNikkFffkλλλ−−===∑(k为整数)为()fk的离散傅里叶变换。并称()()101eNikfkFNλλλ−==∑为()Fλ的离散的傅里叶逆变换。2.3.连续傅里叶变换的性质1)线性性质设()1fx和()2fx的傅里叶变换分别为()1Fλ和()2Fλ，则：()()()()()()121212FfxfxFfxFfxFFαβαβαλβλ+=+=+其中,αβ为常数。2)微分性质如果()(),fxfx′都是可以进行傅里叶变换的，设()fx的傅里叶变换为()Fλ，而且当x→∞时，()0fx→，则有()()Ffxifxλ′=。3)卷积性质傅里叶变换及其应用140设()1fx和()2fx的傅里叶变换分别为()1Fλ和()2Fλ，证明：()1fx和()2fx的卷积的傅里叶变换等于()1fx和()2fx的傅里叶变换的乘积，即：[][][]1212FffFfFf×=⋅。4)()1fx和()2fx乘积的傅里叶变换等于()1fx和()2fx的傅里叶变换的卷积乘以12π，即：[][][]121212πFffFfFf⋅=×。5)若()fx及()xfx都可以进行傅里叶变换，那么：()()ddFixfxFfλ−=。6)平移性质设()fx的傅里叶变换为()Fλ，求证：()fxa−的傅里叶变换为()eiaFλλ−。证明：()()()()()()edeedeixaixixiaFfxafxaxfxaxaFλλλλλ+∞+∞−−−−−−∞−∞−=−=−−=∫∫此性质表明平移后的傅里叶变换等于未作平移的傅里叶变换乘以eiaλ−。2.4.离散傅里叶变换的性质1)线性性质设()1fk和()2fk均为周期为N的序列，对任意给定的常数a和b，则下式成立：()()()()1212FafkbfkaFfkbFfk+=+2)平移性质对任意的()fk，则：()()eiaFfkaFfkλ−−=3)()1fn与()2fn卷积的离散的傅里叶变换等于()1fn与()2fn的傅里叶变换的乘积，即：()()()1212FffFfFf×=⋅4)()1fn与()2fn乘积的傅里叶变换等于()1fn与()2fn的傅里叶变换的卷积乘以1N，即：()()()12121.FffFfFfN⋅=×3.傅里叶变换在求解偏微分方程中的应用在求偏微分方程的解时，如果当自变量x的取值范围是无穷区间(),−∞+∞时可以考虑对方程中的x采用傅里叶变换，这时被变换的函数还应满足当x→∞时趋于0，而且对二阶的方程还要求被变换的函数的一阶导数也趋于0。用傅里叶变换求解偏微分方程的步骤大致为：1)对定解问题作傅里叶变换；2)求解象函数；3)对象函数作傅里叶逆变换得到原问题的解。3.1.求解波动方程例1.已知两端无界弦振动的初始位移为()ufx=，初始速度为0，试求弦在任一时刻t的纵向位移(),uxt，即解以下偏微分定解问题：傅里叶变换及其应用141()()()()()222220,0,00tuuaxttxuxfxxuxt=∂∂=−∞+∞∂∂=−∞+∞∂=−∞+∞∂解：对x作傅里叶变换，令()()()()ˆˆ,,,FuxtutFfxfλλ==，则()()()()2222ˆ,ed,ed,,ˆ,ixixutuuFxuxtxFuxttttttuFutttλλλλ+∞+∞−−−∞−∞∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂=∂∂∫∫，由问题的物理意义知()()lim,0,lim,0xxuxtuxtx→±∞→±∞∂==∂，利用傅里叶变换的微分性质得()()()222222222ˆˆ,,,uuFaFaiutauttxλλλλ∂∂===−∂∂因此，原定解问题变为()()()()()22220ˆ,ˆ,ˆˆ,0ˆ,0tutauttufuttλλλλλλ=∂=−∂=∂=∂把ω看成常数，即()()222200ddˆˆˆˆˆˆˆ,0,()cosddttuauufuutfatttλλλλλ===−==⇒=再由傅里叶逆变换公式()()ˆfFfxλ=，得到()()()()()()1111ˆˆ,,ed2π22ixatuxtFutffxatfxatλλλλ+∞−−−∞===++−∫3.2.求解热传导方程例2.求解二维热传导方程的初值问题()()()()222220,,0,,0,,uuuaxyttxyuxyxyxyϕ∂∂∂−+=−∞+∞∂∂∂=−∞+∞解：因,xy−∞+∞，故对(),,uxyt，(),xyϕ关于,xy作傅里叶变换，记：()()()()1212ˆ,,,,ˆ,,FuxytutFxyλλϕϕλλ==从而得到关于t的一阶常微分方程的初值问题傅里叶变换及其应用142()()()()()12222121212120ˆd,,ˆ,,0dˆˆ,,,tutauttutλλλλλλλλϕλλ=++==它的解为()()()222121212ˆˆ,,,e,atutλλλλϕλλ−+=将上式对12,λλ取傅里叶逆变换，得()()()()()22222212121111212ˆˆ,,,e,eatatuxytFFFλλλλϕλλϕλλ−+−+−−−==×因为()()112ˆ,,,Fxyϕλλϕ−=()()()()222222121212222211222222221222211221222244121eeedd2π1eedeed4π11edeede2π2πatatixyatixatiyixiyxyatatatatataFλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+∞+∞−+−++−−∞−∞+∞+∞−−−∞−∞−−−−−−+∞+∞−∞−∞===⋅⋅⋅∫∫∫∫∫∫2222222244421π1π1eee2π2π4πtxyxyatatatatatat+−−−=⋅⋅⋅⋅⋅=由此得出初值问题的解为()()()()()222222221,,,exp4π41,expdd4π4xyuxytxyatatxyatatϕξηϕξηξη+∞+∞−∞−∞+=×−−+−=−∫∫3.3.求解半平面的Dirichlet问题[6][7]例3.()()()()()()22220,0,0lim,0,lim0,,xxuuxyxyuxfxxuuxyxyuxy→∞→∞∂∂+=−∞+∞∂∂=−∞+∞∂==∂→∞有界当时解：令()()()()ˆˆ,,,FuxyuyFfxfλλ==由傅里叶变换的性质，则有()222ˆ,0uFuyyλλ∂−=∂而()()222222ˆd,d,edddixuyuFuxyxyyyλλ+∞−−∞∂==∂∫，由此可得()()222ˆd,ˆ,0duyuyyλλλ−=这是一个带有参数λ的二阶常微分方程，其通解为()()()ˆ,eeyyuyABλλλλλ−=+，因为当y→∞时u是有界的，所以当y→∞时，()ˆ,uyλ也必须有界，故当0λ，()0Aλ=，且0y=时，有()()ˆ,0uBλλ=。当0λ时，有()0Bλ=，且当0y=时，有()()