声学基础习题解答

4-1.试分别在一维及三维坐标里，导得质点速度v的波动方程。解答：（1）一维坐标运动方程：xptv∂∂−=ddρ(1)连续性方程：()tvx∂∂=∂∂−ρρ(2)状态方程：ρdcP2d=(3)线性化后得到，运动方程：xptv∂∂−=∂∂0ρ(4)连续性方程：txv∂∂=∂∂−'0ρρ(5)状态方程：'20ρcp=(6)由（4）－（6）消去p，'ρ，过程如下：将（6）代入（5）可得tpcxv∂∂=∂∂−2001ρ(7)对式（1）进行关于t的偏导运算，对式（7）进行关于x的偏导运算，相加后整理得质点速度v的波动方程为2220221tvcxv∂∂=∂∂(8)显然，与声压及速度势具有相同形式的波动方程。（2）三维坐标运动方程：ptgraddd−=vρ(9)连续性方程：()t∂∂=−ρρvdiv(10)状态方程：ρdcP2d=(11)线性化后得到，运动方程：ptgrad0−=∂∂vρ(12)连续性方程：()t∂∂=−'div0ρρv(13)状态方程：'20ρcp=(14)同样，将（14）代入（13）可得()tpc∂∂=−2001divvρ(15)对（12）进行关于t的偏导，可得⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−=∂∂tptgrad220vρ(16)对（15）进行grad运算可得()[]⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=−tpcgraddivgrad200vρ(17)（16）与（17）相加可得()[]22201divgradtc∂∂=vv(18)上式也可由速度势波动方程推导得到：222021tc∂∂=∇φφ(19)φgrad=v(20)由于[]φφgraddiv2=∇，于是由（19）可得[]22201graddivtc∂∂=φφ(21)由（20）可得⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂=∂∂2222gradttφv(22)将（20），（22）代入（21）同样可得到（18）。注意，虽然[]pp2graddiv∇=，但并不意味着()[]vdivgrad也有类似的形式，因为div算子与grad算子并不能交换位置，前者的运算对象为矢量，后者的运算对象为标量。因此，与一维坐标不同，三维坐标下关于质点速度的波动方程与关于声压和速度势的波动方程形式是不同的。具体如下：三维坐标下质点速度为三维矢量，可写为kvjvivzyx++=v，则()[]⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂∂+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂+∂∂+∂∂∂+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂+∂∂∂+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=kzvjyzvixzvkzyvjyvixyvkzxvjyxvixvzvyvxv2z2z2z2y22y2y2x2x22x2zyxgraddivgradv(19)因此，（18）可写为2220z2y22x21tvcxzvxyvxvx∂∂=∂∂∂+∂∂∂+∂∂(20)2220z22y2x21tvcyzvyvyxvy∂∂=∂∂∂+∂∂+∂∂∂(21)22202z2y2x21tvczvzyvzxvz∂∂=∂∂+∂∂∂+∂∂∂(22)写为矩阵形式，可得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂zyx2220zyx2222222222221vvvtcvvvzzyzxyzyyxxzxyx(23)简写为，22201tc∂∂=ℜvv(24)式中，变换矩阵ℜ为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=ℜ222222222222zzyzxyzyyxxzxyx(25)显然，由于v为矢量，其波动方程形式非常复杂，所以，通常以标量声压或速度势描述声场波动方程。4-2.如果媒质中存在体积流源，单位时间内流入单位体积里的质量为()tzyxq,,,0ρ，试导出有流源分布时得声波方程。解答：此时，与无流源分布情况相比，运动方程和状态方程不会发生变化，但是，连续性方程将会发生变化，具体推导如下：如图所示，对于三维情况，选取立方体微元，共有六个表面，分别对应于x，x+dx，y，y+dy，z，z+dz，表面面积分别为Sx，Sx，Sy，Sy，Sz，Sz。显然，zySddx=，zxSddy=，yxSddz=。以x方向为例，在单位时间内从该方向进入该体积元的质量应该为()zyvxddxρ，经由体积元流出的质量为()zyvxdddxx+ρ，取其一阶泰勒展开即为()()[]zyxxvvxxdddxx⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+ρρ。因此，单位时间内从外部流入体积元的净质量为()zyxxvxddd∂∂−ρ。同理可得，单位时间内从y，z方向流入体积元的净质量为()zyxyvyddd∂∂−ρ，()zyxzvzddd∂∂−ρ。同时，由于存在体积流源，单位时间内向单位体积里注入的媒质质量为()tzyxq,,,0ρ，则单位时间内注入体积元的媒质质量为zyxqddd0ρ。设单位时间内体积元内质量增加量为zyxdddt∂∂ρ，则由质量守恒可得()()()zyxtzyxqzyxzvzyxyvzyxxvzyxddddddddddddddd0∂∂=+∂∂−∂∂−∂∂−ρρρρρ(1)即()qdivt0ρρρ=+∂∂v(2)线性化后得到()qdivt00'ρρρ=+∂∂v(3)Oxyz运动方程：ptgrad0−=∂∂vρ(4)状态方程：'20ρcp=(5)由（3）－（5）经过简单的消元处理昀终可得tqtpcp∂∂−=∂∂−∇0222021ρ(6)显然，此时多了一个源项，非齐次波动方程。4-3.如果媒质中有体力分布，设作用在单位体积媒质上的体积力为()tzyx,,,F，试导出有体力分布时的声波方程。解答：显然，与无体力分布情况相比，此时连续性方程和状态方程保持不变，而运动方程发生改变。外界施加给体积元的力为矢量。同4-2，选择立方体微元。x方向：x处侧面上受到的外力（面力）为()zypPdd0+，x+dx处侧面上受到的外力（面力）为()zyxxppPzyppPdddddd00⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂++=++，则x方向面力引起的合力为zyxxpddd∂∂−。同样地，y方向面力引起的合力为zyxypddd∂∂−，y方向面力引起的合力为zyxzpddd∂∂−。体积力()kFjFiFtzyxzyx,,,++=F，xF，yF，zF为体积力在三个方向上的分量。质点速度()kvjvivtzyxzyx,,,++=v，，xv，yv，zv为质点速度在三个方向上的分量。则x，y，z三个方向上的平衡方程分别为zyxFzyxxptvzyxxdddddddddddx+∂∂−=ρ(1)zyxFzyxyptvzyxydddddddddddy+∂∂−=ρ(2)zyxFzyxzptvzyxzdddddddddddz+∂∂−=ρ(3)即运动方程变为：Fv+−=ptgradddρ(4)连续性方程：()0div=+∂∂vρρt(5)状态方程：ρdd2cP=(6)线性化后，可得运动方程：Fv+−=∂∂ptgrad0ρ(7)连续性方程：()0div'0=+∂∂vρρt(8)状态方程：'20ρcp=(9)将（9）代入（8）并对时间求偏导，可得0div102220=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+∂∂ttpcvρ(10)由（7）可得()()Fvdivgraddivdiv0+−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂ptρ(11)由（10），（11）可得()Fdiv122202=∂∂−∇tpcp(12)显然，如果()tzyxq,,,0ρ，()tzyx,,,F同时存在，则()Fdivtq1022202+∂∂−=∂∂−∇ρtpcp(13)4-7试问夏天（温度高达40℃）空气中声速比冬天（设温度为0℃）时高出多少？如果平面波声压保持不变，媒质密度也近似为不变，求上述两种情况下声强变化的百分率及声强级差。解答：(1)声速随温度变化的规律为ttc6.06.331)C(0+≈°(m/s)(1)则2440*6.0)C0()C40(00=≈°−°cc(m/s)(2)(2)根据声强公式可知，0022cpIaρ=(W/m2)(3)由于声压保持不变，且媒质密度也近似不变，则两种环境中声强变化的百分率为%75.6%100)C0(1)C40(1)C0(%1000000040−=×⎥⎦⎤⎢⎣⎡°−°×°≈×−cccIII(m/s)(4)即夏天声强比冬天要低6.75%.(3)根据声强级公式可知，refIIlg10SIL=(dB)(5)于是3.0)C40()C0(lg10lg10lg10lg10SILSIL00040040040−≈°°==−=−ccIIIIIIrefref(dB)(6)即夏天声强比冬天要低0.3dB.4-10在20℃的空气里，求频率为1000Hz、声压级为0dB的平面声波的质点位移幅度，质点速度幅值，声压幅值及平均能量密度各为多少？如果声压级为120dB，上述各量又为多少？为了使空气质点速度有效值达到与声速相同的数值，借用线性声学结果估计需要多大的声压级？解答：(1)声压级SPL＝0dB，可得有效声压为Pa1025refe−×==pp(1)则声压幅值为Pa102225ea−×==pp(2)质点速度幅值为scpva/m108.6800a−×==ρ(3)质点位移幅值为m100823.111a−×==ωξav(4)平均能量密度为3152002m/J107936.22−×==cpaρε(5)(2)声压级SPL＝120dB，可知120lg20refe=pp(6)可得有效声压为Pa2010ref6e==pp(7)则声压幅值为Pa2202ea==pp(8)质点速度幅值为scpva/m108.6200a−×==ρ(9)质点位移幅值为m100823.15a−×==ωξav(10)平均能量密度为332002m/J107936.22−×==cpaρε(11)(3)即要求s/m3440e==cv，则如果仍然按照线性声学假设的话，Pa104276.1520000e×≈==cvcpeρρ(12)甚至超过了大气压，于是dB197lg20SPLrefe==pp(dB)(13)4-25试计算入射声波与反射声波幅值相等时的平面驻波声场中的平均能量密度。解答：(1)采用余弦形式表示声压。由于入射波和反射波幅值相等，设入射声波和反射声波分别为()kxtppa−=ωcos01(1)()kxtppa+=ωcos02(2)则驻波场总声压为()()tkxppppaωcoscos2021=+=(3)即总声压幅值为()kxppaacos20=(4)故由平均声能密度公式可知()200222002cos22ckxpcpaaρρε==(5)(2)采用复指数形式表示声压。由于入射波和反射波幅值相等，设入射声波和反射声波分别为()kxtjaepp−=ω01(6)()kxtjaepp+=ω02(7)可以得到相同的计算结果。4-26设有一沿x方向的平面驻波，其驻波声压可表示为()()kxtjrakxtjiaepepp+−+=ωω，若已知2/πjiaraepp=，试求该驻波声场的平均声能量密度ε和平均声能流密度（声强）I。解答：方法一、由教材中式（4－12－7）可知，两列具有相同频率，固定相位差的声波的叠加可表示为Ψ++=cos2002121cppaaρεεε(1)式中，12ϕϕ−=Ψ为两列波的相位差。对题目中驻波声压的表达式进行改写，将之写为与教材中统一的形式，即声压表示为幅值与相位的乘积形式，如下：()()2/πωω++−+=kxtjiakxtjiaepepp(2)由此可知，两列波的声压幅值相等，为iaaappp==21(3)但两列波的声压相位不同，相位差可表示为2/2)2/(12ππϕϕ−−=−−−=−=Ψkxkxkx(4)而由于两列波声压幅值相等，其平均声能密度也相等，为：2002212cpiaρεε==(5)将式（3－5）代入（1）中可得，该驻波声场的平均声能密度为：()()[]kxcpkxcpcpcpiaiaiaia2sin12/2cos222002200220022002−=+++=ρπρρρε(6)声强表示为：()[]kxcpcIia2sin10020−==ρε(7)方法二：直接由驻波合成声场出发，可知()()()()()()()