线性代数自考知识点汇总

第1页共12页行列式1.行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等TDD.性质2互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.如abcabc0abc性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233aaaaaakakakakaaaaaaaaa推论2如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．如abcabc0kakbkc性质4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa性质5把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313aaaaaaaaaaaaaaaakaakaaka2.余子式与代数余子式在n阶行列式中，把元素ija所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ija的余子式，记作ijM，ijijijA(1)M叫做元素ija的代数余子式．如111213212223313233aaaaaaaaa，元素23a的余子式为1112233132aaMaa，元素23a的代数余子式为11122323233132aaA(1)Maa.第2页共12页3.行列式按行（列）展开法则定理1行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122iiiiininDaAaAaA或1122jjjjnjnjDaAaAaA1,2,,;1,2injn如111213212223313233aaaaaaaaa111112121313aAaAaA定理2行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即12120,jjiijninaAaAaA或,11220.jjjjnjnjaAaAaAij1,2,,;1,2injn4.行列式的计算（1）二阶行列式1112112212212122aaaaaaaa（2）三阶行列式111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa（3）对角行列式1212nn，n(m1)21212nn(1)（4）三角行列式1111121n2122222n1122nnn1n2nnnnaaaaaaaaaaaaaaa111,n11n1nn(n1)212,n12,n12n21n2,n1n1n1n1n2nnaaaaaaaa(1)aaaaaaa（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.第3页共12页矩阵1.常见矩阵1）对角矩阵：主对角线以外的元素全为0的方阵，称为对角矩阵.记作Λ.2）单位矩阵：主对角线上的元素全为1的对角矩阵，称为单位矩阵.记作E.3）上三角矩阵：对角线以下的元素全为0的方阵.如11121n222nnnaaaaaa4）下三角矩阵：对角线以上的元素全为0的方阵.如112122n1n2nnaaaaaa5）对称矩阵：设A为ｎ阶方阵，若TAA，即ijjiaa，则称A为对称矩阵.6）反对称矩阵：设A为ｎ阶方阵，若TAA，即ijjiaa，则称A为反对称矩阵.7）正交矩阵：设A为ｎ阶方阵，如果TAAE或TAAE，则称A为正交矩阵.2.矩阵的加法、数乘、乘法运算（1）矩阵的加法如abcabcaabbccdefdefddeeff注：①只有同型矩阵才能进行加减运算；②矩阵相加减就是对应元素相加减.（2）数乘矩阵如abckakbkckdefkdkekf注：数乘矩阵就是数乘矩阵中的每个元素.（3）矩阵的乘法：设ijmijnssA(a),B(b)，规定ijmnABC(c),其中siji11ji22jissjikkjk1cabababab(i1,2,,m,j1,2,,n.)注：①左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数；②左矩阵A的第i行与右矩阵B的第j列对应元素乘积的和是矩阵乘积C的元素ijc.③左矩阵A的行数为乘积C的行数，右矩阵B的列数为乘积C的列数.如行矩阵乘列矩阵是一阶方阵（即一个数），即第4页共12页112111121s111112211ss1s1bbaaaabababb列矩阵乘行矩阵是s阶方阵，即1111111112111s2121112112211s11121ss1s111s112s11saabababaabababbbbaababab3.逆矩阵设n阶方阵A、B，若AB=E或BA=E，则A，B都可逆，且11AB,BA.（1）二阶方阵求逆，设abAcd，则1*db11AAcaAadbc（两调一除法）.（2）对角矩阵的逆11111221nnaaaaaa，111n2121n1aaaaaa.（3）分块对角阵的逆11111221ssAAAA;AA111s2121s1AAAAAA.（4）一般矩阵求逆，初等行变换的方法：ERT1AEEA.4.方阵的行列式由ｎ阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做方阵A的行列式.记作A或det（A）.5.矩阵的初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：第5页共12页（1）互换两行（列）；（2）数乘某行（列）；（3）某行（列）的倍数加到另一行（列）.6.初等矩阵单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵.如001100100010,0k0,010100001k01都是初等矩阵.7.矩阵的秩矩阵A的非零子式的最高阶数，称为矩阵A的秩.记作R（A）或r（A）.求矩阵的秩的方法：（1）定义法：找出A中最高阶的非零子式，它的阶数即为A的秩.（2）初等行变换法：ERTA行阶梯形矩阵，R（A）=R（行阶梯形矩阵）=非零行的行数.8.重要公式及结论（1）矩阵运算的公式及结论12121212kkkkkkkkkkkkkk10ABBA,(AB)CA(BC),(AB)AB(AB)CA(BC),(AB)CACBC,(AB)(A)BA(B)AAA,(A)A,(A)A,EEABABAB,EAAEA,AETTTTTTTTTTTTnTnnAA,(AB)AB,AA,ABBAAA,ABBA,AAAAAEAA,AA,ABABBA,AA,ABAB矩阵乘法不满足交换律，即一般地AB≠AB;矩阵乘法不满足消去律，即一般地若AB=AC，无B=C；只有当A可逆时，有B=C.一般地若AB=O，则无A=O或B=O.222AB?A2ABB.（2）逆矩阵的公式及定理11111111n11111k1k1T11T1AA,AA,,AA1AA,AA,AA,AAABBA1AAAAAAA,AA可逆|A|≠0A～E（即A与单位矩阵E等价）（3）矩阵秩的公式及结论TmnR(O)0,R(A)min{m,n},R(A)R(A),R(kA)R(A),k0A0R(A)n,RABRARB第6页共12页R(AB)≤R(A),R(AB)≤R(B).特别地，当A可逆时，R(AB)=R(B)；当B可逆时，R(AB)=R(A).ETABA~BRARB即等价矩阵的秩相等或初等变换不改变矩阵的秩.9.矩阵方程（1）设A为n阶可逆矩阵，B为n×m矩阵，则矩阵方程AX=B的解为1XAB；解法：①求出1A，再计算1AB；②ERTABEX.（2）设A为n阶可逆矩阵，B为m×n矩阵，则矩阵方程XA=B的解为1XBA；解法：①求出1A，再计算1BA；②ECTAEBX.10.矩阵间的关系（1）等价矩阵：如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，那么称矩阵A与B等价.即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B.性质：等价矩阵的秩相等.（2）相似矩阵：如果存在可逆矩阵P，使得1PAPB,那么称A与B相似.性质：相似矩阵有相同的特征多项式，相同的特征值，相同的行列式，相同的迹.（3）合同矩阵：如果存在可逆矩阵P，使得TPAPB，那么称A与B合同.性质：合同矩阵的秩相等.向量空间1.线性组合（1）若α＝kβ，则称向量α与β成比例．（2）零向量Ｏ是任一向量组的线性组合．（3）向量组中每一向量都可由该向量组线性表示．2.线性相关与线性无关（1）单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量．（2）单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量．（3）两向量线性相关当且仅当两向量对应成比例.（4）两向量线性无关当且仅当两向量不对应成比例.（5）含有Ｏ向量的向量组一定线性相关．（6）向量组12m,,,线性相关的充分必要条件是①齐次线性方程组22mm11kk0k有非零解.第7页共12页②以向量组为列作的矩阵12m,,,的秩向量的个数m.（7）n个n维向量12n,,,线性相关的充分必要条件是以向量组为列作的行列式的值12n,,,=0.（8）向量组12m,,,线性无关的充分必要条件是①齐次线性方程组22mm11kk0k只有零解.②以向量组为列作的矩阵12m,,,的秩=向量的个数m.（9）n个n维向量12n,,,线性无关的充分必要条件是以向量组为列作的行列式的值12n,,,≠0.（10）当mn时，m个n维向量一定线性相关.定理1：向量组a1,a2,……,am（m≥2）线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示.向量组线性无关的充分必要条件是向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示．定理2：如果向量组A：a1,a2,……,ar线性无关，而向量组a1,a2,……,ar，α线性相关，则α可由A线性表示，且表示式唯一.定理3：设向量组2r1A:,,,，12rr1mB:,,,,,,若A线性相关，则向量组B也线性相关；反之，若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关.（即部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关）.定理4：无关组的截短组无关，相关组的接长组相关.3.极大无关组与向量组的秩定义1如果在向量组T中有r个向量a1,a2,……,ar，满足条件：⑴向量