高数第六章答案

习题621求图621中各画斜线部分的面积(1)解画斜线部分在x轴上的投影区间为[01]所求的面积为61]2132[)(1022310xxdxxxA.(2)解法一画斜线部分在x轴上的投影区间为[01]所求的面积为1|)()(1010xxeexdxeeA解法二画斜线部分在y轴上的投影区间为[1e]所求的面积为1)1(|lnln111eedyyyydyAeee(3)解画斜线部分在x轴上的投影区间为[31]所求的面积为332]2)3[(132dxxxA(4)解画斜线部分在x轴上的投影区间为[13]所求的面积为332|)313()32(3132312xxxdxxxA2.求由下列各曲线所围成的图形的面积(1)221xy与x2y28(两部分都要计算)解388282)218(220220220220221dxxdxxdxxdxxxA34238cos16402tdt346)22(122SA(2)xy1与直线yx及x2解所求的面积为212ln23)1(dxxxA(3)yexyex与直线x1解所求的面积为1021)(eedxeeAxx(4)y=lnx,y轴与直线y=lna,y=lnb(ba0).解所求的面积为abedyeAbaybaylnlnlnln3求抛物线yx24x3及其在点(03)和(30)处的切线所围成的图形的面积解y2x4过点(0,3)处的切线的斜率为4切线方程为y4(x3)过点(3,0)处的切线的斜率为2切线方程为y2x6两切线的交点为)3,23(所求的面积为49]34(62[)]34(34[23023232dxxxxxxxA4求抛物线y2=2px及其在点),2(pp处的法线所围成的图形的面积解2yy2p在点),2(pp处1),2(ppypy法线的斜率k1法线的方程为)2(pxpy即ypx23求得法线与抛物线的两个交点为),2(pp和)3,29(pp法线与抛物线所围成的图形的面积为233232316)612123()223(pypyypdypyypApppp5求由下列各曲线所围成的图形的面积(1)2acos解所求的面积为2022222cos4)cos2(21dadaAa2(2)xacos3t,yasin3t;解所求的面积为2042202330sincos34)cos()sin(44tdttatadtaydxAa2206204283]sinsin[12atdttdta(3)=2a(2+cos)解所求的面积为2202220218)coscos44(2)]cos2(2[21adadaA6求由摆线xa(tsint)ya(1cost)的一拱(0t2)与横轴所围成的图形的面积解所求的面积为aaadttadttataydxA20222020)cos1()cos1()cos1(22023)2cos1cos21(adtttaa7求对数螺线ae()及射线所围成的图形面积解所求的面积为)(421)(21222222eeadeadaeA8求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积(1)3cos及1cos解曲线3cos与1cos交点的极坐标为)3,23(A)3,23(B由对称性所求的面积为45])cos3(21)cos1(21[2232302ddA(2)sin2及2cos2解曲线sin2与2cos2的交点M的极坐标为M)6,22(所求的面积为2316]2cos21)sin2(21[246602ddA9求位于曲线y=ex下方该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积解设直线ykx与曲线yex相切于A(x0y0)点则有kexyeykxyxx00)(0000求得x01y0eke所求面积为21ln21)ln1(00020edyyyyyyedyyyeeeee10求由抛物线y24ax与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值解设弦的倾角为由图可以看出抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为10AAA显然当2时A10当2时A10因此抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为20300383822axadxaxAaa11把抛物线y24ax及直线xx0(x00)所围成的图形绕x轴旋转计算所得旋转体的体积解所得旋转体的体积为2002002224000xaxaaxdxdxyVxxx12由yx3x2y0所围成的图形分别绕x轴及y轴旋转计算所得两个旋转体的体积解绕x轴旋转所得旋转体的体积为712871207206202xdxxdxyVx绕y轴旋转所得旋转体的体积为803280223282dyydyxVy56453328035y13把星形线3/23/23/2ayx所围成的图形绕x轴旋转计算所得旋转体的体积解由对称性所求旋转体的体积为dxxadxyVaa03323202)(2230234323234210532)33(2adxxxaxaaa14用积分方法证明图中球缺的体积为)3(2HRHV证明RHRRHRdyyRdyyxV)()(222)3()31(232HRHyyRRHR15求下列已知曲线所围成的图形按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积(1)2xy2yx绕y轴解103)5121()(1052102210yydyyydyV(2)axaychx0xay0绕x轴解102302202chch)(uduaauxdxaxadxxyVaa令1022310223)21221(4)2(4uuuueueadueea)2sh2(43a(3)16)5(22yx绕x轴解44224422)165()165(dxxdxxV24021601640dxx(4)摆线xa(tsint)ya(1cost)的一拱y0绕直线y2a解aadxyadxaV202202)2()2(20223)sin()]cos1(2[8ttdataaa232023237sin)cos1(8atdttaa16求圆盘222ayx绕xb(ba0)旋转所成旋转体的体积解aaaadyyabdyyabV222222)()(2202228badyyaba17设有一截锥体其高为h上、下底均为椭圆椭圆的轴长分别为2a、2b和2A、2B求这截锥体的体积解建立坐标系如图过y轴上y点作垂直于y轴的平面则平面与截锥体的截面为椭圆易得其长短半轴分别为yhaAAyhbBB截面的面积为)()(yhbBByhaAA于是截锥体的体积为])(2[61)()(0bAaBABabhdyyhbBByhaAAVh18计算底面是半径为R的圆而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积解设过点x且垂直于x轴的截面面积为A(x)由已知条件知它是边长为xR2的等边三角形的面积其值为)(3)(22xRxA所以322334)(3RdxxRVRR19证明由平面图形0axb0yf(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为badxxxfV)(2证明如图在x处取一宽为dx的小曲边梯形小曲边梯形绕y轴旋转所得的旋转体的体积近似为2xf(x)dx这就是体积元素即dV2xf(x)dx于是平面图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积为babadxxxfdxxxfV)(2)(220利用题19和结论计算曲线ysinx(0x)和x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积解20002)sincos(2cos2sin2xxxxxdxdxxV21计算曲线ylnx上相应于83x的一段弧的长度解8328328321)1(1)(1dxxxdxxdxxys令tx21即12tx则23ln211111113223232222322dttdtdtttdttttts22计算曲线)3(3xxy上相应于1x3的一段弧的长度解xxxy31xxy2121xxy4121412)1(2112xxy所求弧长为3432)232(21)1(213131xxxdxxxs23计算半立方抛物线32)1(32xy被抛物线32xy截得的一段弧的长度解由3)1(32232xyxy得两曲线的交点的坐标为)36,2()36,2(所求弧长为21212dxys因为2)1(22xyyyxy2)1()1(23)1(32)1()1(34242xxxyxy所以]1)25[(98)13(13232)1(2312232121xdxdxxs24计算抛物线y22px从顶点到这曲线上的一点M(xy)的弧长解yyydyyppdypydyyxs02202021)(1)(1yypypypyp022222])ln(22[1pypypyppy2222ln2225计算星形线tax3costay3sin的全长解用参数方程的弧长公式dttytxs2022)()(4202222]cossin3[)]sin(cos3[4dtttattaatdtt6cossin122026将绕在圆(半径为a)上的细线放开拉直使细线与圆周始终相切细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线它的方程为)sin(costttax)cos(sintttay计算这曲线上相应于t从0变到的一段弧的长度解由参数方程弧长公式022022)sin()cos()]([)]([dttattatdttytxs202atdta27在摆线xa(tsint)ya(1cost)上求分摆线第一拱成13的点的坐标解设t从0变化到t0时摆线第一拱上对应的弧长为s(t0)则000220220]sin[)]cos1([)]([)]([)(ttdttatadttytxts)2cos1(42sin2000tadttat当t02时得第一拱弧长s(2)8a为求分摆线第一拱为13的点为A(xy)令ata2)2cos1(40解得320t因而分点的坐标为横坐标aax)2332()32sin32(纵坐标aay23)32cos1(故所求分点的坐标