讲义---平面向量与三角形四心的交汇

1讲义---平面向量与三角形四心的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）0OCOBOAO是ABC的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211yxCyxByxAyxO0OCOBOA0)()()(0)()()(321321yyyyyyxxxxxx33321321yyyyxxxxO是ABC的重心.证法2：如图OCOBOA02ODOAODAO2DOA、、三点共线，且O分AD为2：1O是ABC的重心（2）OAOCOCOBOBOAO为ABC的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.0)(CAOBOCOAOBOCOBOBOAACOB同理BCOA，ABOCO为ABC的垂心（3）设a,b,c是三角形的三条边长，O是ABC的内心OOCcOBbOAa0为ABC的内心.证明：bACcAB、分别为ACAB、方向上的单位向量，bACcAB平分BAC,(AObACcAB)，令cbabccbabcAO（bACcAB)化简得0)(ACcABbOAcba0OCcOBbOAaOABCDEOABCDE2（4）OCOBOAO为ABC的外心。三、典型例题：例1：O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心例2：（03全国理4）O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACACABABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心例3：1)O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，动点P满足)coscos(CACACBABABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心2)已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足()||sin||sinABACOPOAABBACC,[0,),则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A.重心B.垂心C.外心D.内心3)已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足()2||cos||cosOBOCABACOPABBACC,[0,),则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A.重心B.垂心C.外心D.内心例4、已知向量123,,OPOPOP满足条件1230OPOPOP，123||||||1OPOPOP，求证：123PPP△是正三角形．例5、ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，()OHmOAOBOC，则实数m=．3例6、点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OAOBOBOCOCOA，则点O是ABC的（）．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点例7在△ABC内求一点P，使222APBPCP最小．例8已知O为△ABC所在平面内一点，满足222222||||||||||||OABCOBCAOCAB，则O为△ABC的心．例9．.已知O是△ABC所在平面上的一点，若OAOBOBOCOCOA，则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心例10已知O为△ABC所在平面内一点，满足2222||||||||OABCOBCA=22||||OCAB，则O点是△ABC的()A.垂心B.重心C.内心D.外心例11已知O是△ABC所在平面上的一点，若()OAOBAB=()OBOCBC=()OCOACA=0，则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心例12：已知O是△ABC所在平面上的一点，若aOAbOBcOC=0，则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心例13：已知O是△ABC所在平面上的一点，若aPAbPBcPCPOabc(其中P是△ABC所在平面内任意一点)，则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心四、配套练习：1．已知ABC三个顶点CBA、、及平面内一点P，满足0PCPBPA，若实数满足：APACAB，则的值为（）A．2B．23C．3D．642．若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，0OCOBOA，则OBOA()A．21B．0C．1D．213．点O在ABC内部且满足022OCOBOA，则ABC面积与凹四边形ABOC面积之比是（）A．0B．23C．45D．344．ABC的外接圆的圆心为O，若OCOBOAOH，则H是ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心5．O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，若222OBBCOA222ABOCCA，则O是ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心6．ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，)(OCOBOAmOH，则实数m=7．（06陕西）已知非零向量与满足(+)·=0且·=12,则△ABC为()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形8．已知ABC三个顶点CBA、、，若CABCCBABACABAB2，则ABC为（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形9.已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足()OPOAABAC,[0,).则P点的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心10.已知O是△ABC所在平面上的一点，若OAOBOC=0,则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心11.已知O是△ABC所在平面上的一点，若1()3POPAPBPC(其中P为平面上任意一点),则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心