第三章课后作业

第三章课后作业1．多元线性回归模型的基本假设是什么？试说明在证明最小二乘估计量的无偏性和有效性的过程中，哪些基本假设起了作用？答：多元线性回归模型的基本假定有：（1）解释变量是非随机的或固定的，且相互之间互不相关（不存在多重共线性）；（2）随机扰动项具有0均值、同方差以及不存在序列相关（不存在自相关）；（3）解释变量与随机扰动项不相关；（4）随机扰动项服从正态分布；（5）样本容量趋于无穷时，各解释变量的方差趋于有界常数；（6）回归模型的设定是正确的。在证明最小二乘估计量的无偏性中，利用了解释变量与随机误差项不相关的假定。在有效性的证明中，利用了随机项独立同方差假定。βμXXXβμXβXXXYXXXβ11=′′+=+′′=′′=−−−)()())()(())(()ˆ(1EEEE2．在多元线性回归分析中，t检验和F检验有何不同？在一元线性回归中，二者是否具有等价的作用？解：多元回归中，t检验是针对某一个偏回归系数的显著性检验，而F检验则是针对回归方程总体线性关系的显著性检验。在一元线性回归中，二者具有等价的作用。实际上，在一元线性回归中二者存在如下的关系：2tF=。3．为什么说对模型参数施加约束条件后，其回归的残差平方和一定不比未施加约束的残差平方和小？在什么样的条件下，受约束回归和不受约束回归的结果相同？解：假设无约束样本回归的矩阵表达式为：eXY+=βˆ受约束样本回归的矩阵表达式为：∗∗+=eXYβˆ则受约束样本回归的残差平方和RSSR为：)ˆˆ(ˆˆˆβββββ−−=−+=−=∗∗∗∗XeXeXXYe所以于是eeee**′≥′)ββX(X)ββ(eeee****ˆˆˆˆ−′′−+′=′4．在一项调查大学生一学期平时成绩（Y）与每周在学习（X1）、睡觉（X2）、娱乐（X3）与其它（X4）各种活动所用的时间的关系的研究中，建立如下的回归模型：iiiiiiXXXXYμβββββ+++++=443322110如果这些活动所用时间的总和为一周的总小时数168。问：保持其它条件不变，改变其中一个变量的说法是否有意义？该模型是否违背基本假设的情况？如何修改此模型以使其更加合理？解：保持其它条件不变，改变其中一个变量的说法没有意义；该模型违背了解释变量间不存在多重共线性的基本假设；不能将四个解释变量同时纳入回归模型。5．考虑如下两个模型：（a）iiiiXXYμααα+++=22110（b）iiiiiXXXYνβββ+++=−221101要求：（1）证明：1ˆˆ11−=αβ，00ˆˆαβ=，22ˆˆαβ=（2）证明：残差的最小二乘估计量相同，即：iiuνˆˆ=（3）在何种情况下，模型（b）的拟合优度22R会小于模型（a）拟合优度21R。解：（1）根据OLS估计原理可得：1ˆ)()(ˆ123323222233232222332322223332223323222232332221−=−=−−=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑αβiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxxxxxxxxxxxxxxxxxxyxxxyxxxxxxxxxyxxxxyx&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&223323222323222222332322233222223323222233222222ˆ)()(ˆαβ=−=−−=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxxxxxxxxxxxxxxxxxyxxxyxxxxxxxxxyxxxxyxx&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（2）0221112211122110ˆˆˆ)(ˆ)1ˆ()(ˆˆˆβββααααα=−−−=−−−−=−−=XXXYXXXYXXY证毕。（3）设：iiiXYZ1−=（a）式的拟合优度为：∑∑−−=−=222)(ˆ11YYuTSSESSRiia（b）式的拟合优度为：∑∑−−=−=222)(11ZZTSSESSRiibν在（2）中已经证得iiuνˆˆ=成立，即二式分子相同，若要模型（b）的拟合优度2bR小于模型（a）的拟合优度2aR，必须满足：22)()(YYZZii−−∑∑。6．考虑下列三个实验步骤：（1）对iiiiXXYμβββ+++=22110进行回归；（2）对iiiXXναα++=2101进行回归，计算残差iνˆ；（3）对iiiiwXY+++=2210ˆγνγγ进行回归。试证明11ˆˆγβ=，并直观的解释该结果。证明：根据OLS估计原理依次求解上述待估参数可证明。或由回归方程（2）可得残差iνˆ为：iiiXX2101ˆˆˆααν−−=，将其带入回归方程（3）可得：iiiiiiiiwXXwXXXY+−++−=++−−+=21121101022210110)ˆ()ˆ()ˆˆ(αγγγαγγγααγγ将上式与回归方程（1）比较，可得到：∧∧−==−=)ˆ(ˆˆˆ)ˆ(ˆ1122110100αγγβγβαγγβ7．考虑如下过原点回归：iiiieXXY++=2211ˆˆββ（1）求参数的OLS估计量；（2）对该模型，是否仍然有结论∑=0ie；∑=01iiXe；∑=02iiXe解：（1）222112)ˆˆ(iiiiXXYeQββ−−==∑∑所以OLS估计的正规方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒=−−−=∂∂=⇒=−−−=∂∂∑∑∑∑00)()ˆˆ(2ˆ00))(ˆˆ(2ˆ22221121122111iiiiiiiiiiiiXeXXXYQXeXXXYQββββββ此时，正规方程组仅包含两个正规方程。∑=0ie将不再成立，而∑=01iiXe和∑=02iiXe仍然成立。8．对下列模型：（a）iiiiuzxy+++=2βα（b）iiiiuzxy+−+=ββα求出β的最小二乘估计值；并将结果与下面的三变量回归方程的最小二乘估计值作比较：（c）iiiiuzxy+−+=γβα，你认为哪一个估计值更好？将模型⑴改写成iiiiuxzy++=−βα)2(，则β的估计值为：∑∑−−−=2)()2)((ˆxxzyxxiiiiβ将模型⑵改写成iiiiuzxy+−+=)(βα，则β的估计值为：∑∑+−−+−−=2)()(ˆzxzxyzxzxiiiiiβ这两个模型都是三变量回归模型⑶在某种限制条件下的变形。如果限制条件正确，则前两个回归参数会更有效；如果限制条件不正确则前两个回归参数会有偏。9．下表给出三变量模型的回归结果：方差来源平方和（SS）自由度（d.f.）平方和的均值来自回归65965——来自残差———总离差(TSS)6604214要求：（1）样本容量是多少？（2）求RSS？（3）ESS和RSS的自由度各是多少？（4）求2R和2R？（5）检验假设：2X和3X对Y无影响。你用什么假设检验？为什么？（6）根据以上信息，你能否确定2X和3X各自对Y的贡献吗？解：（1）样本容量为16。（2）RSS=TSS-ESS=66042-65965=77（3）ESS的自由度为2；RSS的自由度为13。（4）9988.06604277112=−=−==TSSRSSTSSESSR9987.0)116(66042)1216(771)1/()1/(12=−−−−=−−−−=nTSSknRSSR（5）检验假设：2X和3X对Y无影响。将用到方程总体线性显著性的F检验。（6）不能确定。11.下表给出了中国2000年30个省级单位（西藏自治区没被纳入）GDP总值Y（亿元）、资本存量K（亿元）以及劳动力人数L（万人）的数据。地区GDPKL北京24797041622天津16393846407河北508994863441山西164432051419内蒙古140124611017辽宁466975971813吉林182133721079黑龙江325357551635上海455110809673江苏8583156423559浙江6036107982700安徽303853913373福建392062811660江西200332811935山东8542146944662河南513886255572湖北427651852508湖南369257223462广东9662160843861广西205034052530海南5181275334重庆158929101636四川401073444436贵州99422822046云南195541332295陕西166142491813甘肃98316801182青海264739239宁夏266820274新疆13643673672设定生产函数为μβαeLAKY=（1）利用上述资料，进行回归。（2）回答：中国2000年各地区的生产呈现规模报酬不变状态吗？