数学推理方法

数学推理方法一、推理推理是从一个或几个已知的判断，得出另一个新判断的思维形式。演绎推理推理归纳推理合情推理类比推理……数学推理方法是寻求新结果、由已知进入到未知的方法；也是解答数学问题、进行数学证明的工具。例如：（1）因为角A角和B是对顶角，所以角A等于角B。（2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以其对角线互相平分。演绎推理推理的结构：任何推理都包含前提和结论两部分。前提是推理的依据部分，可以是一个也可以是几个；结论是根据前提所推出的判断。（3）因为S△=180°，S四边形=2×180°，S五边形=3×180°，…所以Sn边形=(n-2)×180°.（4）(5)归纳推理类比推理类比推理显然这个推理是错误的二、演绎推理与合情推理1、演绎推理属逻辑推理范畴。逻辑推理要求，在推理的过程中要合乎逻辑推理的形式，遵守推理的规则。演绎推理中常用的方法是三段论法，所遵守的规则是：若集合A中所有元素都具有属性F，则A中每一个元素也具有属性F。即三段论法大前提（定理、公理等）小前提（已知）结论演绎推理是从一般到特殊的推理方法。归纳推理与类比推理都属于合情推理。演绎推理多用于证明，而合情推理多用于发现。在数学领域中，合情推理的方法也被称为是数学发现的方法。数学家的发现多用的是这种方法。2、合情推理是运用观察、实验、归纳、类比、猜想、验证等一套自然科学中常用的、探索式的方法进行的推理。1、归纳推理是观察资料、认识模型并从观察作出概括的过程，所得出的概括叫做猜想。归纳推理是由特殊到一般的推理方法。归纳推理又称为归纳法。完全归纳法归纳法不完全归纳法三、归纳推理由于用完全归纳法解决问题时考虑到了事物的所有对象的情况，所以完全归纳法是一种严格的推理方法。其前提和结论之间有着必然的联系，如果把演绎推理看成是前提和结论之间有着必然的联系的推理，那么完全归纳法实质上是演绎推理。例如：｛1，2，3，4，5｝，以其元素作为真数和底数，能出现多少个不同的对数值？4×3+1=13完全归纳法是根据某类事物中每一个对象（或每一个子类）的情况，作出关于事物一般性结论的推理（又叫枚举法）。不完全归纳法具有不可靠性，应用不完全归纳法推理得出的结论只是一种猜想，其正确与否还要经过验证或证明。在用不完全归纳法进行数学归纳时，应注意归纳的基础，一部分对象应当有一定的数量，过于少了会影响猜想的正确性。不完全归纳法是根据事物中一部分对象的情况，而作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。例如：费尔马猜想当时称为费尔马定理这说明费尔马猜想不是定理又如：哥德巴赫猜想4=2＋2，6=3+3，8=3+5，10=3+7=5+5，12=5+7，14=3+11=7+7，16=3+13=5+11，18=5+13=7+11，……猜想，任意大于或等于2的偶数都可以表示为两个素数的和。陈景润为之奋斗了一生仍然是猜想（1）帮助学生进入研究问题的起点（发现的起点）万事开头难，尤其是低年龄段的学生（大学以下），习惯与接受式学习方式的学生，对于一个有待于研究的问题，往往无从下手。如果有一种方法可以把你的学生带到研究问题的起点，何乐而不为呢？2、不完全归纳法在学生进行数学发现中的作用例如：数线段：从最简单的做起，寻找规律；2+13+2+1……我国著名数学家华罗庚先生有一个主张，叫做“退回到1”，其实质就在于研究问题要从最简单的做起，从特殊的做起。多边形内角和的获取：从三角形开始，然后四边形、五边形、六边形，…寻找规律得到n边形内角和公式。特殊情形是具体的不抽象的，这就使学生在研究问题时，有一个具体的对象。例如：有关n条线段的问题，可以两条线段、三条线段的问题；有关求前n项和的问题，可以先研究前两项和、前三项和问题。从特殊的、具体的问题入手，学生可以下手进行操作，在实验、操作过程中，去思考一些问题，寻求问题的答案。（2）便于学生思考问题（进行发现的过程）在归纳的过程中，经过对大量的、简单的、具体的情形，进行观察、比较后，经过思考结论就在其中了。同时，正确的归纳方法本身，就提供了发现结论的途径，有时还提供了证明的方法。例如：十字相乘法则的归纳过程多边形对角线条数的归纳过程（3）有利于学生发现结论和证明方法（达到有所创新）直接比较法：比较所得结果与实验次数n的关系或所得结果与具体问题的关系。递推法：寻求：后面的结果是在前面的基础上发生了哪些变化。3、正确地进行归纳的方法从图形的规律中找结果与n的关系：一个顶点处有n-3条对角线，每条对角线属于两个顶点，n个顶点共有条对角线。直接比较法例如：多边形内角和定理的发现边数3456…n…三角形数1234…n-2…结果n边形内角和=（n-2)·180°不利于归纳出结论n边形对角线的条数的发现边数3456…n…对角线条数0259…？…证明思路：第n条直线与前面n-1条直线交于n-1个点，使平面区域增加n个，所以f(n)=f(n-1)+n。f(n)例如，如图，在有公共边的三角形和矩形的边上有规律地排列一些点，填空：每边有2个点，每边有3个点，每边有4个点，…，每边有n个点，共有个点；共有个点；共有个点；…，共有个点．（选自朝阳区2002-2003第一学期初三期末统考题）每边有2个点，每边有3个点，每边有4个点，…，每边有n个点，共有5个点；共有11个点；共有17个点；…，共有？个点．这样归纳不利于得到猜想，其主要原因是，没有注意到在n的变化过程中，点的总数的变化过程。每边有2个点，每边有3个点，每边有4个点，…，每边有n个点，共有5个点；共有5+6个点；共有5+6+6个点；…，共有？个点．这样归纳，注意到了后次比前次多6个点，因此很快得到猜想：每边有n个点时，共有5+6·(n-2)=6n-7个点．这就是递推法：寻求后面的结果是在前面的基础上发生了哪些变化。本题还可以通过观察图形特点，直接得到猜想。类比推理，是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们其它属性也相同的推理方法——从特殊到特殊的推理方法。类比推理与归纳推理一样具有不可靠性。例如：由a(b+c)=ab+ac类比sin(A+B)=sinA+sinBlg(M+N)=lgM+lgN结论是不正确的由类比得到的结论，只是猜想，经过证明的才是正确的。四、类比推理五、数学《课程标准》对合情推理的要求《课程标准》在对学生学习内容的要求中指出：学生的学习内容应该是现实的、有意义的、富有挑战性的，应该有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。《课程标准》在学生学习的方式中指出：动手实践、自主探索、合作交流是学生数学学习的重要方式。《课程标准》把数学教学称为数学教学活动，并指出教师应向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习。这就意味着，学生学习数学应该是自己做会的，而不只是凭老师教能会的；定理、概念、法则的得出，应该是学生探索出来的，而不是老师给的。学生的动手实践、自主探索、再发现的过程，正是合情推理的过程。因此，我们在设计教学过程的时候，应该给学生提供动手实践的素材、提供自主探索的载体、提供合情推理的环境，指导学生得出猜想，发现新知。学生的学习过程是动手实践、自主探索的主动建构过程，是学生再创造、再发现的过程。