数字电子技术基础1

数字电子技术基础第一章逻辑代数基础1.1数字电路概述模拟信号与数字电路模拟信号：在时间上和数值上连续的信号。数字信号：在时间上和数值上不连续的（即离散的）信号。uu模拟信号波形数字信号波形tt对模拟信号进行传输、处理的电子线路称为模拟电路。对数字信号进行传输、处理的电子线路称为数字电路。数码为：0～9；基数是10。运算规律：逢十进一，即：9＋1＝10。十进制数的权展开式：1、十进制52735×103=50002×102＝2007×101＝703×100＝3＝5273103、102、101、100称为十进制的权。各数位的权重是10的幂。同样的数码在不同的数位上代表的数值不同。＋任意一个十进制数都可以表示为各个数位上的数码与其对应的权重的乘积之和，称权重展开式。即：(5555)10＝5×103＋5×102＋5×101＋5×100又如：(209.04)10＝2×102＋0×101＋9×100＋0×10－1＋4×10－22、二进制数码为：0、1；基数是2。运算规律：逢二进一，即：1＋1＝10。二进制数的权展开式：如：(101.01)2＝1×22＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2＝(5.25)10加法规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10乘法规则：0×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=1运算规则各数位的权是２的幂二进制数只有0和1两个数码，它的每一位都可以用电子元件来实现，且运算规则简单，相应的运算电路也容易实现。数码为：0～7；基数是8。运算规律：逢八进一，即：7＋1＝10。八进制数的权展开式：如：(207.04)8＝2×82＋0×81＋7×80＋0×8－1＋4×8－2＝(135.0625)103、八进制4、十六进制数码为：0～9、A～F；基数是16。运算规律：逢十六进一，即：F＋1＝10。十六进制数的权展开式：如：(D8.A)16＝13×161＋8×160＋10×16－1＝(216.625)10各数位的权是8的幂各数位的权是16的幂几种进制数之间的对应关系十进制数二进制数八进制数十六进制数0123456789101112131415000000000100010000110010000101001100011101000010010101001011011000110101110011110123456710111213141516170123456789ABCDEF1.2.2数制转换（1）二进制数转换为八进制数：将二进制数由小数点开始，整数部分向左，小数部分向右，每3位分成一组，不够3位补零，则每组二进制数便是一位八进制数。将N进制数按权展开，即可以转换为十进制数。1、二进制数与八进制数的相互转换1101010.01000＝(152.2)8（2）八进制数转换为二进制数：将每位八进制数用3位二进制数表示。=011111100.010110(374.26)82、二进制数与十六进制数的相互转换111010100.0110000＝(1D4.6)16=101011110100.01110110(AF4.76)16二进制数与十六进制数的相互转换，按照每4位二进制数对应于一位十六进制数进行转换。3、十进制数转换为二进制数采用的方法—除2取余、乘2取整法原理：将整数部分和小数部分分别进行转换。整数部分采用除2取余法，小数部分采用乘2取整法。转换后再合并。244余数低位222………0=K0211………0=K125………1=K222………1=K321………0=K40………　1=K5高位0.375×2整数高位0.750………0=K－10.750×21.500………1=K－20.500×21.000………1=K－3低位整数部分采用除2取余法：先得到的余数为低位，后得到的余数为高位。小数部分采用乘2取整法：先得到的整数为高位，后得到的整数为低位。所以：(44.375)10＝(101100.011)2采用除2取余法、乘2取整法法，可将十进制数转换为任意的N进制数。常用BCD码十进制数8421码余3码2421码5421码01234567890000000100100011010001010110011110001001001101000101011001111000100110101011110000000001001000110100101111001101111011110000000100100011010010001001101010111100权842124215421格雷(Gray)码格雷码是一种无权循环码，它的特点是:相邻的两个码之间只有一位不同。下表列出了十进制数0～15的四位格雷码。ASCII代码表1.1逻辑代数基本概念、公式和定理1.1.1基本和常用逻辑运算一、三种基本逻辑运算1、与逻辑（与运算）电路图L=ABEABYEABYEABYEABYEABY两个开关必须同时接通，灯才亮。逻辑表达式为：A、B都断开，灯不亮。A断开、B接通，灯不亮。A接通、B断开，灯不亮。A、B都接通，灯亮。ABY000110110001开关A开关B灯Y断开断开断开闭合闭合断开闭合闭合灭灭灭亮功能表YAB&Ｙ＝Ａ·Ｂ真值表逻辑符号2、或逻辑（或运算）开关A，B并联控制灯泡Y电路图L=ABEABYEABYEABY两个开关只要有一个接通，灯就会亮。逻辑表达式为：A、B都断开，灯不亮。A断开、B接通，灯亮。A接通、B断开，灯亮。A、B都接通，灯亮。EABYEABYABY000110110111AB≥1Y=A+B真值表开关A开关B灯Y断开断开断开闭合闭合断开闭合闭合灭亮亮亮功能表逻辑符号3、非逻辑（非运算）开关A控制灯泡Y电路图EAYRAY0110YA1Y=AEAYRA断开，灯亮。EAYRA接通，灯灭。真值表功能表逻辑符号开关A灯Y断开闭合亮灭二.常用的逻辑运算和函数（1）与非运算：逻辑表达式为：ABYABY000110111110真值表YAB与非门的逻辑符号L=A+B&（2）或非运算：逻辑表达式为：BAYABY000110111000真值表YAB或非门的逻辑符号L=A+B≥1（3）异或运算：逻辑表达式为：BABABAYABY000110110110真值表YAB异或门的逻辑符号L=A+B=1CDABYY≥1&ABCD与或非门的逻辑符号ABCD&&≥1Y与或非门的等效电路（4）与或非运算：逻辑表达式为：逻辑代数逻辑代数又叫布尔代数或开关代数，是由英国数学家乔治·布尔于1847年创立的。逻辑代数与普通代数相似都是用字母来代替变量，但逻辑代数与普通代数的概念不同，它不表示数量大小之间的关系，而是描述客观事物一般逻辑关系的一种数学方法。逻辑代数是用数学方法来研究逻辑关系的重要工具，把它应用到数字电路的分析和设计中，可以使逻辑电路的组成更加合理、结构更简单、能够充分发挥逻辑元件的作用，使电路成本更低。（一）逻辑变量和函数1.逻辑变量：2.逻辑函数：),,,(CBAfY注意：与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不管是变量还是函数，其取值都只能是0或1，并且这里的0和1只表示两种不同的状态，没有数量的含义。3.最基本的逻辑函数YAB&AB≥1YA1Ｙ＝ＡＢY=A+BY=A4.组合逻辑函数YAB与非门的逻辑符号L=A+B&YAB或非门的逻辑符号L=A+B≥1YAB异或门的逻辑符号L=A+B=1Y≥1&ABCD与或非门的逻辑符号ABYBAYBABABAYCDABY1.1.2逻辑代数的公式、定理（一）常量之间的关系（二）变量和常量的关系0-1律：AAAA100011AA互补律：01AAAA同一律：AAAAAA还原律：AA分别令A=0及A=1代入这些公式，即可证明它们的正确性。与运算：111001010000或运算：111101110000非运算：1001（三）基本定律交换律：ABBAABBA结合律：)()()()(CBACBACBACBA分配律：)()()(CABACBACABACBA反演律（摩根定律）：BABABABA.证明方法见表1.1.3及1.1.4（四）三个定理1.代入规则在一个逻辑等式两边出现某个变量（或表达式）的所有位置都代入另一个变量（或表达式），则等式仍然成立。例如:已知，在等式两边出现B的所有位置都代入BC，则等式仍然成立，即AB=A+BA(BC)=A+(BC)=A+B+C2.反演规则对一个逻辑函数F进行如下变换:将所有的“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到函数F的反函数。使用反演规则时，要注意以下两点:保持原函数中逻辑运算的优先顺序；不是单个变量上的反号保持不变。例如:则ZABACDZ(AB)ACD3.对偶规则对一个逻辑函数F进行如下变换:将所有的“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到函数F的对偶函数F′。例如:F1=A·(B+C)，F1′=A+B·CF2=A·B+A·C，F2′=(A+B)·(A+C)如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等这就是对偶规则。例如:已知A·(B+C)=A·B+A·C则A+B·C=(A+B)·(A+C)（五）常用公式公式（1）A+A·B=A证明:A+A·B=A·1+A·B=A·(1+B)=A·1=A公式的含义是:在一个与或表达式中，如果一个与项是另一个与项的一个因子，则另一个与项可以不要。这一公式称为吸收律。例如:(AB)(AB)CDAB公式（2）AABABAAB(AA)(AB)1(AB)AB证明:公式的含义是:在一个与或表达式中，如果一个与项的反是另一个与项的一个因子，则这个因子可以不要。分配率例如:A+B+(AB)C=A+B+A+BC=A+B+C公式（3）证明:AB+AC=AB+AC+BCAB+AC+BC=AB+AC+BC(A+A)=AB+AC+ABC+ABC=(AB+ABC)+(AC+ACB)=AB+AC公式的含义是:在一个与或表达式中，如果一个与项中的一个因子的反是另一个与项的一个因子，则由这两个与项其余的因子组成的与项是可要可不要的。（冗余定理）ABC+(A+B)D+CD=(AB)C+(AB)D+CD=(AB)C+(AB)D=ABC+(A+B)D例如:公式（4）证明:AB+AC=AB+AC+BCDAB+AC+BCD=(AB+AC)+BCD=AB+AC+BC+BCD=AB+AC+(BC+BCD)=AB+AC+BC=AB+AC公式的含义是:在一个与或表达式中，如果一个与项中的一个因子的反是另一个与项的一个因子，则包含这两个与项其余因子作为因子的与项是可要可不要的。ABC+(A+B)D+CDE+FG=ABC+(A+B)D（六）异或运算公式A⊕B=AB+ABA⊙B=A⊕B=AB+AB=AB+AB异或运算：同或运算：1.2逻辑函数的化简方法1.2.1逻辑函数的标准与或式和最简表达式一.标准与或式任何一种逻辑关系都可以用标准与或式来表示，但它不是最简的。逻辑函数的最小项及其性质（1）最小项的定义：P中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且如果一个函数中存在n个变量，如果P是一个含有n个变量因子的乘积项，在函数中仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准乘积项，通常称为最小项。n个变量可以组成2n个最小项如3个变量A、B、C可组成8个最小项：ABCCABCBACBABCACBACBACBA、、、、、、、（2）最小项的表示方法：3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：ABCmCABmCBAmCBAmBCAmCBAmCBAmCBAm