LTI系统的单位冲激响应.ppt

先看前例电路如下，当t=0时开关由1至2，系统输出为电流，试确定电流i(t)及其导数在t=0时刻前后的值。V20V10)(te)(tiCLR12即是要求t=0-与0+时刻电流及其导数的值。由观察可知，t=0-时刻电路应处于稳定状态，于是0)0(i0)(0tdttdiL0)0(i§2.3LTI系统的单位冲激响应由前所讲已知，当-∞＜t＜∞时系统方程为)(10)(1)()(22tLtiLCdttdiLRdttid当t=0+时刻，由于电感电流不会突变，于是0)0(i10)(0tdttdiLLi10)0(可见，在当t=0时刻的前后，电路中状态发生了跳变。即系统方程的右边出现冲激信号，t=0时刻的条件会发生跳变。一、单位冲激响应零状态系统)(t)(th单位冲激响应h(t)是系统在零状态时，由单位冲激作用之下产生的输出响应。因此，它是一个零状态响应。但是，单位冲激信号δ(t)仅在t=0时刻不等于0，当t0时δ(t)=0，因此系统在t0时的响应是零输入响应的形式。)()()(thththph因此，在时域求解的情况下，hp(t)与t=0+时条件的确定成了h(t)求解的关键。例如、设系统方程如下，试求系统的单位冲激响应h(t)。)()(2)(txtyty⑴⑵)()()(2)(txtxtyty1/解：此时方程应为)()(2)(tthth⑴求特征根，确定齐次通解。022)()(2tuAethth⑵确定特解，并确定t=0+时刻的初始条件。比较以上方程两边可见，中应有强度为1的冲激，而中没有冲激存在，否则中将有冲激的导数出现。因此，中没有特解出现。)(th)(th)(th)(th因为0)()0(dtthh1)(0dtt所以)()()(2tuAeththth⑶由t=0+时刻的初始条件，确定待定系数。Ah1)0(所以)()(2tuetht对于低阶方程的另一种解法是，将含待定系数的h(t)代入方程，然后使方程两边相等以确定待定系数。2/解：此时方程应为)()()(2)(ttthth⑴求特征根，确定齐次通解。022)()(2tuAethth⑵确定特解，并确定t=0+时刻的初始条件。比较以上方程两边可设：在t=0时刻)()()(01tBtBth于是在t=0时刻uBtBth01)()(将这两式代入以上方程)()()(2)()(101tttBtBtB)()()()2()(101tttBBtB即有11B1210BB10B于是在t=0时刻，系统的特解)()(tthpB0Δu=-Δu表示在t=0时刻系统由于冲激作用引起的跳变，跳变值B0=-1。它是在单位冲激信号的作用下，系统在t=0+时刻建立起来的状态。利用此状态可以确定齐次响应中的待定系数。⑶确定齐次解中的待定系数，求出系统的单位冲激响应。ABhh1)0(0所以)()()(thththhp)()(2tuett一般的，对于如下形式的微分方程MkkkNkkktxbtya0)(0)()()(当NM，单位冲激响应中只有自由响应；当N≤M，则还有受迫响应分量：冲激和冲激的各阶导数。例如设系统方程如下，试求系统的单位冲激响应h(t)。)(3)()(2)(3)(txtxtytyty解：此时方程应为⑴求特征根，确定齐次通解。023211tteAeAth221)()(3)()(2)(3)(ttththth22所以t0时或表示为：)()()(221tueAeAthtt⑵确定特解，并确定t=0+时刻的初始条件。比较以上方程两边可设：在t=0时刻)()()(01tBtBth于是在t=0时刻uBtBth01)()(由此得到，h(t)中特解等于0；将以上三式代入以下方程uBth1)()(3)()(2)(3)(ttththth)(3)()(3)()(101tttBtBtB)(3)()()3()(101tttBBtB所以11B3310BB00B由此得到t=0+时刻的条件：0)0(0Bh1)0(1Bh⑶确定齐次解中的待定系数，求出系统的单位冲激响应。211)0(AAh所以)()2()(2tueethtt2120)0(AAh21A12A二、离散时间系统的单位样值响应零状态系统)(n)(nh单位样值响应h(n)是系统在零状态时，由单位样值信号作用之下产生的响应。因此，它是一个零状态响应。同样，单位样值信号δ(n)仅在n=0时刻等于1，其它时刻δ(n)=0，因此系统在n0时的响应是零输入响应。因为是差分方程的时域求解，除了有类似于以上单位冲激响应求解的方法外，还可以用迭代法求解响应。下面还是通过举例，说明单位样值相应的求解。例如：已知系统差分方程，求系统的单位样值响应h(n)。)()2(61)1(65)(nxnynyny解、此时以上方程可以写成)()2(61)1(65)(nnhnhnh解法一（迭代法）：将方程写成如下形式)2(61)1(65)()(nhnhnnh考虑到系统是因果的和零状态的，当n=01)2(61)1(651)0(hhh当n=165)1(61)0(650)1(hhh当n=23619)0(61)1(650)2(hhh同样，在大多数情况下不易得到封闭的解。解法二：由因果性与零状态条件，通过迭代求得一组初始条件，进而求n0时的零输入响应。设在n0以后nnAAnh)31()21()(21由以上65)1(h3619)2(h所以653121)1(21AAh36199141)2(21AAh求得31A22A考虑到1)0(h所以)1(])31(2)21(3[)()(nunnhnn解法三：方法二中的初始条件是由h(-2)=h(-1)=0和δ(0)=1迭代得来的。二阶系统，确定系数有两个条件足够，我们可以用n=-1和0时的条件，进而求n≥0时的零输入响应。设在n≥0以后nnAAnh)31()21()(21将0)1(h1)0(h作为条件032)31()21()1(211211AAAAh1)0(21AAh31A22A所以)(])31(2)21(3[)(nunhnn)1(])31(2)21(3[)(nunnn例如：已知系统差分方程，求系统的单位样值响应h(n)。)1()()2(61)1(65)(nxnxnynyny解、此时以上方程可以写成)1()()2(61)1(65)(nnnhnhnh解法一：先用迭代法，求得h(0)=1，h(1)=-1/6，再设在n≥0以后nnAAnh)31()21()(21因此1)0(21AAh613121)1(21AAh31A42A所以)(])31(4)21(3[)(nunhnn)1(])31(4)21(3[)(nunnn解法二：将以上方程看成是以下两方程的和)()2(61)1(65)(111nxnynyny)1()2(61)1(65)(222nxnynyny所以有)()()(21nynyny考虑到系统的线性与时不变性)1()(12nyny系统的单位样值响应)()()(21nhnhnh)1()(11nhnh由前例可知)(])31(2)21(3[)(1nunhnn所以)1(])31(2)21(3[)(])31(2)21(3[)(11nununhnnnn零状态系统)(n)(nh)1(n)1(nh)1(])31(2)21(3[)(])31(2)21(3[)(11nununhnnnn)1(])31(34)21(23[)(11nunnn)1(])31(4)21(3[)(nunnn