函数的奇偶性

1.3.21.什么是偶函数,它的图象有什么特点?2.什么是奇函数,它的图象有什么特点?3.怎样判断函数的奇偶性?问题1.观察下面两个图象.(1)各图象有什么样的对称性?(2)各函数中,自变量取一对相反数时,函数值是什么关系?即f(x)与f(-x)有什么关系?xyo1-12-22313-3f(x)=x2xyo1-12-22313-3f(x)=|x|(1)两图象都关于y轴对称.(2)第一个函数f(x)=x2,f(1)=f(-1)=1,f(2)=f(-2)=4,f(3)=f(-3)=9,……第二个函数f(x)=|x|,f(1)=f(-1)=1,f(2)=f(-2)=2,f(3)=f(-3)=3,……问题1.观察下面两个图象.(1)各图象有什么样的对称性?(2)各函数中,自变量取一对相反数时,函数值是什么关系?即f(x)与f(-x)有什么关系?xyo1-12-22313-3f(x)=x2xyo1-12-22313-3f(x)=|x|(1)两图象都关于y轴对称.(2)第一个函数f(x)=x2,f(1)=f(-1)=1,f(2)=f(-2)=4,f(3)=f(-3)=9,……第二个函数f(x)=|x|,f(1)=f(-1)=1,f(2)=f(-2)=2,f(3)=f(-3)=3,……自变量取一对相反数时,函数值相同,即f(-x)=f(x).定义:如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.偶函数的图象关于y轴对称.如:问题1中,f(x)=x2,f(-x)=(-x)2=x2,得f(-x)=f(x),∴f(x)=x2是偶函数.同样,f(x)=|x|,f(-x)=|-x|=|x|,得f(-x)=f(x),∴f(x)=|x|也是偶函数.问题2.观察下面两个图象.(1)图象有什么样的对称性?(2)各函数中,自变量取一对相反数时,函数值是什么关系?即f(x)与f(-x)有什么关系?(1)两图象都关于原点对称.(2)第一个函数f(x)=x,f(1)=1,f(-1)=-1,f(2)=2,…………xyo1-13-313-3f(x)=xxyo1-13-313-3xxf1)(=f(-2)=-2,第二个函数,1)(xxf=,21)2(=f,21)2(-=-ff(1)=1,f(-1)=-1,问题2.观察下面两个图象.(1)图象有什么样的对称性?(2)各函数中,自变量取一对相反数时,函数值是什么关系?即f(x)与f(-x)有什么关系?(1)两图象都关于原点对称.(2)第一个函数f(x)=x,f(1)=1,f(-1)=-1,f(2)=2,…………xyo1-13-313-3f(x)=xxyo1-13-313-3xxf1)(=f(-2)=-2,第二个函数,1)(xxf=,21)2(=f,21)2(-=-ff(1)=1,f(-1)=-1,自变量取一对相反数时,函数值也互为相反数,即f(-x)=-f(x).定义:如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点对称.如:问题2中,f(x)=x,f(-x)=-x,得f(-x)=-f(x),∴f(x)=x是奇函数.得f(-x)=-f(x),同样,,1)(xxf=,1)(xxf-=-也是奇函数.xxf1)(=例(补充):如图是函数y=f(x)的图象的一部分,根据下列条件,画出函数的另一部分.(1)函数是奇函数;(2)函数是偶函数.xyO解:(1)奇函数的图象关于原点对称.xyO(2)偶函数的图象关于y轴对称.xyO问题3.奇函数的图象是否过原点,你能举例说明吗?不一定.如:,1)(xxf=xxf-=-1)(x1-==-f(x),.1)(是奇函数xxf=其图象不过原点,如图:xyo1-13-313-3xxf1)(=但如果奇函数的定义域为R时,一定有f(0)=0,你知道为什么吗?这时图象就一定过原点.例5.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x4;(2)f(x)=x5;(3)(4);1)(xxxf=.1)(2xxf=解:(1)∵f(x)=x4,其定义域为R,f(-x)=(-x)4=x4=f(x),∴f(x)=x4是偶函数.(2)∵f(x)=x5,其定义域为R,f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),∴f(x)=x5是奇函数.则对任意x都有则R内任意x都有利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：(1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；(2)确定f(－x)与f(x)的关系；(3)作出相应结论．判断函数的奇偶性判断下列函数是否具有奇偶性．(1)f(x)＝x＋x3＋x5；(2)f(x)＝x2＋1；(3)f(x)＝x＋1；(4)f(x)＝x2，x∈[－1,3]．分析：先求定义域，再判断f(－x)与f(x)的关系．点评：定义域关于原点对称是函数具备奇偶性的前提．说明：根据奇偶性,函数可划分为四类,①偶函数②奇函数③既奇又偶函数④非奇非偶函数思考题：函数y＝5是奇函数还是偶函数？函数y＝0是奇函数还是偶函数？０５Y＝５Y＝０YYxx０是偶函数是偶函数也是奇函数1．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：(1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；(2)确定f(－x)与f(x)的关系；(3)作出相应结论．2．若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数．3．若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．4．由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，即定义域关于原点对称．5．奇函数在其对称区间上的单调性相同、函数值相反．6．偶函数在其对称区间上的单调性相反、函数值相同．7．设f(x)，g(x)有公共的定义域，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇例5.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x4;(2)f(x)=x5;(3)(4);1)(xxxf=.1)(2xxf=解:(3)=-f(x),,1)(xxxf=其定义域为(-∞,0)∪(0,∞),)(1)()(xxxf--=-)1(xx-=是奇函数.xxxf1)(=在定义域内的任意x都有(4)=f(x),,1)(2xxf=其定义域为(-∞,0)∪(0,∞),2)(1)(xxf-=-21x=是偶函数.21)(xxf=在定义域内的任意x都有解:(1)f(x)=2x43x2的定义域是(-∞,∞),在其定义域内的任意x都有f(-x)=2(-x)43(-x)2=2x43x2=f(x),∴f(x)=2x43x2是偶函数.练习:(课本36页)1.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=2x43x2;(2)f(x)=x3-2x;(3)(4)f(x)=x21.;1)(2xxxf=f(x)=x3-2x的定义域是(-∞,∞),在其定义域内的任意x都有f(-x)=(-x)3-2(-x)=-x32x=-f(x),∴f(x)=x3-2x是奇函数.=-(x3-2x)练习:(课本36页)1.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=2x43x2;(2)f(x)=x3-2x;(3)(4)f(x)=x21.;1)(2xxxf=解:(2)在其定义域内都有练习:(课本36页)1.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=2x43x2;(2)f(x)=x3-2x;(3)(4)f(x)=x21.;1)(2xxxf=解:(3)的定义域是(-∞,0)∪(0,∞),xxxf1)(2=xxxf--=-1)()(2xx12-==-f(x),∴f(x)是奇函数.f(x)=x21的定义域是(-∞,∞),在其定义域内的任意x都有f(-x)=(-x)21=x21=f(x),∴f(x)=x21是偶函数.练习:(课本36页)1.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=2x43x2;(2)f(x)=x3-2x;(3)(4)f(x)=x21.;1)(2xxxf=解:(4)2.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,试将下图补充完整.xyOxyOf(x)g(x)解:f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,如图.g(x)是奇函数,其图象关于原点对称,如图.【课时小结】若定义域内任一x都有f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数.1.函数的奇偶性偶函数:若定义域内任一x都有f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数.奇函数:【课时小结】2.奇偶函数的图象特点偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.奇函数的定义域为R时,图象过原点.【课时小结】3.奇偶函数的判定(1)由代数定义判定:计算f(-x)与f(x)比较符号.(2)由图象判定:看图象的对称性.3.已知函数f(x)是偶函数,而且在(0,∞)上是减函数,判断f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数并证明你的判断.解:于是得f(x)在(-∞,0)上xyOf(x)是偶函数,图象关于f(x)在(0,∞)上是减函数,这部分的图象左高右低.y轴对称.是增函数.例3.若函数为奇函数,求a的值.))(12()(axxxxf-=解:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),,))(12())(12(axxxaxxx--=----即得(-2x1)(-x-a)=(2x1)(x-a),解得.21=a