高等量子力学-第三章-本征矢量和本征值

§3本征矢量和本征值§3-1定义§3-2本征矢量的完全性§3-3厄米算符完备组§3-4无穷维空间的情况厄米算符的本征值问题有两个重要的性质：（1）厄米算符的本征值都是实数。若A是厄米算符，则用左乘（3.1）式两边,得aA我们已经证明过A是实数，所以a必定是实数。§3-1定义对算符A，若有非零矢量满足下式：aA式中a为数，则称为算符A的本征矢量，a称为相应的本征值。上式称为本征值方程。（3.1）本征值一般是复数，也可以是零。（2）厄米算符属于不同本征值的两个本征矢量相互正交。设21222111,,aaaAaA那么12112aA又有,12212*21221212aaaAA二式相减，得02121aa但是12aa，所以12必定为零。证明了1与2正交。下面讨论属于同一个本征值a，厄米算符A有多少个本征矢量的问题。首先，若是A的一个本征矢量，则乘以一个复数c的c也是属于同一个本征值的本征矢量；若1，2都是A的本征矢量而本征值相同，则他们的线性叠加11C+22C也是A的属于同一本征值的本征矢量。所以，算符A的属于同一个本征值a的本征矢量全体构成希尔伯特空间中的一个子空间，这个子空间称为算符A的属于本征值a的本征子空间。本征子空间的维数s，称为所属本征值的简并度。这个本征值或这组本征矢量称为是s重简并的；而简并度为1的情况，通常称为无简并的。为了指出s维本征子空间，只需给出其中一组s个线性无关的本征矢量即可。有时人们说某个本征值只有一个本征矢量或有s个本征矢量，实际都是指一个或s个线性无关的本征矢量。定理：若A和B两算符相似，即对于有逆算符R有1RARB则A和B有相同的本征值谱，而且每一本征值都有相同的简并度。设已知A的全部本征值和相应本征矢量；,3,2,1,iaAiii利用11RR的性质，并用R从左作用上式两边，得,3,2,1,1iRaRRARiii即)((iiiRaRB由于R有逆，iR不为零，所以所有的ia也都是B的本征值。证明：下面设A的一个本征值是s重简并的，属于这一本征值的s个线性无关的本征矢量记为.,...,,21isii由于R有逆，.,...,,21isiiRRR亦必为线性无关的（参见练习2.4），因此算符B的属于本征值ia的本征矢量至少为s个，即简并度不会比A的小。另外，可利用BRRA1用同样的方法证明B的简并度也不会比A的大。证毕。厄米算符A，本征值不论有无简并，本征矢量的集合构成此空间的一组正交归一完全集,11iiiijji在物理上，常常用厄米算符的本征矢量去确定一组基矢，甚至用厄米算符本征矢量去“构造”一个希尔伯特空间，其原因就在这里。§3-2本征矢量的完全性i11iiiijji§3-3厄米算符完备组对于一个希尔伯特空间，每一个厄米算符的全部线性无关的本征矢量，都可以用来构成空间的基矢，即正交归一化完全集，这使我们能够得到一些有物理意义的基矢，给量子力学的讨论带来方便。但是，当这个厄米算符的本征值有简并时，对应于这一本征值的本征矢量的数目与简并度相同，这时，由本征矢量所确定的基矢不是唯一的，在简并的子空间中可以有多种选择，这一小节的任务就是要消除这一不确定性，我们可以通过再取一个厄米算符去把本征子空间中的基矢确定下来。首先给出一个定理。证明：设两个厄米算符是A和B。定理当且仅当两个厄米算符互相对易时，它们有一组共同的本征矢量完全集。必要性：设A和B有一组共同的本征矢量完全集}{i，我们证明A和B必可对易。这时有ibiBiaiAii,于是;)(iabiAbiBAiABiii同样ibaiBAii因此,)(OiBAAB对所有i成立，因为}{i是完全的，所以有OBAAB)(充分性：设已知OBAAB)(，又设}{i是A的一套正交归一化的本征矢量完全集，我们将用后者构造一套同时是A和B的共同本征矢量完全集。)()()iBaiABiBAi（由此知道iB也是A的本征矢量，属于本征值ia。下面分两种情况：（1）A的本征值ia没有简并，这时iB与i属于同一个本征子空间，它们只能相差常数倍：ibiBi即i也同时是B的本征矢量，常数ib就是B的本征值。如果A的所有本征值都没有简并，那么}{i就是A和B的共同本征矢量完全集。（2）问题在于A的那些有简并的本征值。在A的二维以上的本征子空间中随便取一个矢量，未必就是B的本征矢量。设A的本征值ja有m重简并，在}{i中属于这一本征值的本征矢量是,,,2,1jmjj它们是在m维子空间中互相正交的m个代表。现在要在这个m维本征子空间中寻找一些也是B的本征矢量的矢量，设这种矢量为cjjm1'式中}{c是一组叠加系数，这种矢量应该共有m个。cjbcjBjbjB上述矢量成为B的本征矢量的条件是cjbcjB用j同上式作内积，利用jj得),2,1(1mbccjBjm这是一个}{c的线性齐次方程组，设其系数BjBj，这一方程组有解的条件是系数行列式为零：0212222111211bBBBBbBBBBbBmmmmmm这是算符B的久期方程，b有m个根（其中有可能有相同的），对每一个根)(ib有一组解)(ic，即一个矢量)('ij，于是我们求得了m个矢量,,,,)(')2(')1('mjjj它们是A的本征矢量（本征值为ja），同时又是B的本征矢量（本征值为,,)2()1(bb）。对于每个A的简并本征值都经过这样重新选取，就可以得出一个A和B的共同本征矢量完全集。至此，定理已经证毕。当b没有等根时，所得的共同本征矢量完全集就是完全确定的。对于一个希尔伯特空间，一组对易的厄米算符，，，，CBA它们只有一组完全确定的共同本征矢量完全集，而去掉算符中的任何一个，都会使剩下的那些算符的共同本征矢量完全集具有任意性，称它们为一组厄米算符完备组。它们的这组本征矢量完全集，构成这个希尔伯特空间的一组基矢。这一组基矢可以分别用它所属的算符，，，，CBA的本征值，，，，cba的数值来编号（由于完全消除了任意性，不会有两组完全相同的编号出现），或者用各自本征值的序号（即量子数）来编号。当上述系数行列式中的b有等根时，还有一个一维以上的本征子空间中的所有矢量都同时是A和B的本征矢量，共同本征矢量完全集还有任意性。这时可以再取第三个与A和B都对易的厄米算符C，以同样的方法用C的本征值来区分，直到这一组本征矢量完全集完全确定为止。以后有时为了方便，我们用单一字母（例如A）表示算符的完备组，用单一字母ia表示它们的本征值的集合，用单一字母i表示各本征值序号的集合，而用}{ia表示它们的共同本征矢量，简单的写成iiiaaaA共同本征矢量的完全性关系简写成1iiiaa其实，一个厄米算符的全部线性无关的本征矢量，就已经能构成空间的基矢，我们增加更多的算符，不是为增加本征矢量的数目而是为减少其中的任意性，最后消除任意性，以便得到一组完全确定的基矢。§3-4无穷维空间的情况以上我们对有限维空间作了较完整的讨论，但是在量子力学中更多见到的是无穷维的矢量空间。这种空间中厄米算符大体上有两种，一种是离散的本征值谱，其本征值（以及相应的本征矢量）是可数的无穷多个；另一种具有连续的本征值谱，具有不可数无穷多个本征值和相应的本征矢量。空间中任意矢量都可以用这一套基矢展开：iii1归一化：2111iiiii（1）离散谱的情况),2,1(iiaiAi本征方程：正交归一化关系：),2,1,(jijiij完全性关系：11iii（3.2）空间中任意矢量都可以用这一套基矢展开：归一化：（2）连续谱的情况本征方程：正交归一化关系：完全性关系：（3.4）aaaA)(''aaaa1adaaaada（3.3）21adaaadaaa)(daa2)(（3.6）（3.5）（3）有离散谱又有连续谱的情况正交归一化关系：完全性关系：)(''aaaa1aadaaaiiiijjiaa0aai由于具有连续谱的算符和具有离散谱的算符的各种关系式都是一一对应的，而作一般讨论时，又希望这个讨论对两种情况都适用；因此，在本书中我们约定：在作一般讨论时，使用取和形式或积分形式是随意的，取和也可以理解为积分，积分也可以理解为取和。一切取决于本征值谱是连续还是离散，而不拘于写出来的形式。例如，当公式写出来的是积分的形式，当所讨论的算符具有离散谱，那么，积分就理解为取和，)(jiaa就理解为ijaaji等等。这样会给行文带来方便。而这样一来，对于一部分连续而另一部分离散的那种本征值谱，随便写成一种形式（取和或积分）就可以了。