无穷小的比较--无穷小的阶

第六节无穷小的比较无穷小的阶一、无穷小的比较二、等价无穷小三、小结一、无穷小的比较例如,23;xx比要快得多;sin大致相同与xxxxx3lim20,0xxxsinlim0,1观察下列极限当时,0x221,,sin,sinxxxxx都是无穷小.不可比.,不存在2201sinlimxxxxxx1sinlim000型极限不同,反映了无穷小趋向于零的速度的“快慢”程度不同.定义:lim0,(1)如果则称是比高阶的无穷小．设是同一过程中的两个无穷小,,且0()o记作(2)如果,lim则称是比低阶的无穷小；(3)如果,lim0C则称与是同阶的无穷小；特殊地,如果lim1,则称与是等价的无穷小；~;记作(4)如果,lim0,0kCkk无穷小；则称是的阶的，03lim20xxx例如，因为所以当0x时，sinx与x是等价无穷小．2(3),(0).xoxx即所以当0x时，2x是比3x高阶的无穷小．因为，1sinlim0xxxsin~,(0).xxx即2201lim9(3)xxx，而所以当时，0x2x是3x二阶无穷小．证明因为30xxxxsintanlim)cos1sincos1(lim20xxxxxx,212000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx例1证明：0x当时，tansinxx为的三x阶无穷小．所以tansinxx为x的三阶无穷小．301sin(1)coslimxxxx30sin(1cos)limcosxxxxx二、等价无穷小代换(2)~,~lim定理(等价无穷小代换定理)证limlimlim(3)lim存在．lim则是同一极限过程的(1)()()()()xxxx、、、无穷小；lim()limlim几个常见的等价无穷小:上述等价无穷小中的可以是函数形式,xsin~;xx211cos~;2xx~sinxx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1)x~1,xxe(1)1~,(0)axaxa1~lnxaxa当时,0x但在所考虑的极限过程中,此函数的极限应为零.例2解22021)2(limxxx原式.8例3求极限201sin1lim1xxxxe解因为0x11sin1~sin,2xxxx221~xex所以有20sin2lim.1cosxxx求211cos~,2xxsin2~2.xx0x当时,201sin1lim1xxxxe201sin2limxxxx12例4.1sin)1(lim0xxexx求解.~1,~sin,0xexxxx时当xxxx)1(lim0原式.1)1(lim0xx若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积,不能滥用等价无穷小代换.切记:只可对函数的乘积因子作无穷小等价代换,注意：则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换,而不会改变原式的极限．对于代数和中各无穷小不能分别代换.解解错例530tansinlim.sin2xxxx求当时,0xtan~,sin~.xxxx30lim(2)xxxx原式0.23012lim(2)xxxx原式1.16301sin(1)coslim(2)xxxx30sin(1cos)lim(2)cosxxxxx例6计算)()ln()ln(sinlim型0022220xexxexxxx解)ln()sinln(lim112220xxxexxe因为,时0x,sin~)sinln(xexexx221xx~)ln(1,所以22221xexexx~)ln(于是xexxexxxx2)ln()ln(sinlim2220xxxexxe2220sinlim122220ln(sin)lnlimln()lnxxxxxxeexee原式解)()(lim0xxx201arcsincoslim(1arcsincos)xxxxkxxxx)arcsincos1(lim2120xxxxkx)121(21k134k当时,与0x2)(kxxxxxxcosarcsin1)(___k是等价无穷小,则例7(0702)例8(040210)计算极限]1)3cos2[(1lim30xxxx解)1ln(tt由与等价得:)0(t113232xxxexcosln)cos(原式20cos13limxxx0xcos13xx1632xxcosln~~三、小结1、无穷小的比较反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.2、等价无穷小的代换:求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.练习(030104)21ln(1)0__________________lim(cos)xxx解221lncosln(1)ln(1)00lim(cos)limxxxxxxe20lncoslimln(1)xxx20cos1limxxx20ln(1cos1)limxxx211ln(1)20lim(cos).xxxe12练习),(,sinsinlim且不同时为零求xxeexxx0解xxeexxx222110cossinlim原式)cossincossin(limxxexxexxx222122210而xxexx2cos2sin21lim0xxx)(lim0xxexx2cos2sin21lim0所以xxeexxxsinsinlim01xxx)(lim0任何两个无穷小都可以比较吗？思考题思考题解答,1)(xxfxxxgsin)(都是无穷小量但)()(limxfxgxxxsinlim不存在且不为无穷大不能．时例如，当x故当x函数)()(xgxf和不能比较.一、填空题：1、2、3、4、________;2sin3tanlim0xxx_______;)(sinarcsinlim0nmxxx________;)21ln(lim0xxx______;arctan1sin1lim20xxxxx练习题56、xaxnx1)1(lim10=_________._____;2sin2limnnnx7、当0x时，)0(3aaxa对于x是_______阶无穷小.8、当0x时，无穷小xcos1与nmx等价，则.______________,nm二、求下列极限axaxaxtantanlim(1)xxxx30sinsintanlim(2)eelim(3)xxxxsinsinlim0(4)三、证明：若,是无穷小，则)(0~.四、设f(x)=1)cos(2sinlim212nnnxbxaxx求：1、)(xf的表达式.2、确定ba,的值,使得)1()(lim1fxfx，)1()(lim1fxfx.一、1、23；2、nmnmnm,,1,0；3、2；4、；5、x；6、na；7、3；8、21,2.二、1、21；2、e；3、；4、a2sec.练习题答案四、1、1),cos(1,2)cos(11,2)cos(11,2sinxbxaxbaxbaxxx；2、0,),1,0(2bkka.