高中数学人教A版(2019)必修第一册第五章三角函数的概念教-案

《5.2.1三角函数的概念（第一课时）》教学设计教学目标1．了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系；2．经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，发展数学抽象素养．教学重难点教学重点：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义．教学难点：理解三角函数的对应关系，包括影响单位圆上点的坐标变化的因素分析，以及三角函数的定义方式的理解；对符号sin，cos和tan的认识．课前准备PPT课件教学过程（一）创设情境引导语：我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象，圆周运动是这类现象的代表．如图1，⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转．在把角的范围推广到任意角后，我们可以借助角α的大小变化刻画点P的位置变化．又根据弧度制的定义，角α的大小与⊙O的半径无关，因此，不失一般性，我们可以先研究单位圆上点的运动．现在的任务是：如图1，单位圆⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，图1建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况．问题1：根据已有的研究函数的经验，你认为我们可以按怎样的路径研究上述问题？预设的师生活动：学生在独立思考的基础上进行交流、讨论．预设答案：明确研究背景—对应关系的特点分析—下定义—研究性质．设计意图：明确研究的内容、过程和基本方法，为具体研究指明方向．（二）新知探究引导语：下面我们利用直角坐标系来研究上述问题．如图2，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1，0)，点P的坐标为(x，y)．射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP．问题2：当α=6π时，点P的坐标是什么？当α=2π或3π2时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？一般地，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？预设的师生活动：在学生求出α=6π时点P的坐标后追问以下问题．追问：（1）求点P的坐标要用到什么知识？（2）求点P的坐标的步骤是什么？点P的坐标唯一确定吗？（3）如何利用上述经验求α=3π2时点P的坐标？（4）利用信息技术，任意画一个角α，观察它的终边OP与单位圆交点P的坐标，你有什么发现？你能用函数的语言刻画这种对应关系吗？预设答案：（1）直角三角形的性质；图2（2）画出6π的终边OP，过点P作x轴的垂线交x轴于M，在Rt△OMP中，利用直角三角形的性质可得点P的坐标是2123，；（3）可以发现，∠MOP=3π，而点P在第二象限，可得点P的坐标是2321，；（4）对于R中的任意一个角α，它的终边OP与单位圆交点为P(x，y)，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的．这里有两个对应关系：f：实数（弧度）对应于点P的纵坐标y，g：实数（弧度）对应于点P的横坐标x．根据上述分析，f：R→[－1，1]和g：R→[－1，1]都是从集合R到集合[－1，1]的函数．设计意图：以函数的对应关系为定向，从特殊到一般，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆交点的横、纵坐标都是圆心角α（弧度）的函数，为给出三角函数的定义做好准备．问题3：请同学们先阅读教科书第178～179页，再回答如下问题：（1）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？（2）符号sin，cos和tan分别表示什么？在你以往的学习中有类似的引入特定符号表示一种量的经历吗？（3）为什么说当≠2π＋kπ时，tan的值是唯一确定的？（4）为什么说正弦函数、余弦函数的定义域是R？而正切函数的定义域是{x∈R|x≠2π＋kπ，k∈Z}？预设的师生活动：学生独立阅读课文，再举手回答上述问题．预设答案：（1）正弦函数的对应关系：sin→点P的纵坐标y；余弦函数的对应关系：cos→点P的横坐标x；正弦函数的对应关系：tan→xy（2）分别表示y，x，；引入符号logab表示ax=b中的x．（3）当≠2π＋kπ时，如果α确定，那么的终边确定，终边与单位圆的交点P确定，P点的横、纵坐标x、y就会唯一确定，因此xy的值也是唯一确定的，所以tan的值也是唯一确定的．（4）当＝2π＋kπ时，的终边在y轴上，这时点P的横坐标x等于0，所以xy＝tan无意义．除此之外，对于任意角，P点的横、纵坐标的值x，y都是存在且唯一确定的．设计意图：在问题引导下，通过阅读教科书、辨析关键词等，使学生明确三角函数的“三要素”；引导学生类比已有知识（引入符号logab表示ax=b中的x），理解三角函数符号的意义．问题5：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数．设x∈2π0，，把按锐角三角函数定义求得的锐角x的正弦记为y1，并把按本节三角函数定义求得的x的正弦记为z1．y1与z1相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？预设的师生活动：教师引导，学生作图并得出结论．预设答案：作出Rt△ABC，其中∠A=x，∠C=90°，再将它放入直角坐标系中，使点A与原点重合，AC在x轴的正半轴上，可得出y1=z1的结论．对于余弦、正切也有相同的结论．设计意图：建立锐角三角函数与任意角三角函数的联系，使学生体会两个定义的和谐性．例1利用三角函数的定义求3π5的正弦、余弦和正切值．预设的师生活动：先由学生发言，再总结出从定义出发求三角函数值的基本步骤，并得出答案．预设答案：在直角坐标系中，作∠AOB=3π5（图3）．易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为2321，．所以，sin233π5，cos213π5，tan33π5．设计意图：通过概念的简单应用，明确用定义求三角函数值的基本步骤，进一步理解定义的内涵．练习：在例1之后进行课堂练习：（1）利用三角函数定义，求π，2π3的三个三角函数值．（2）说出几个使cosα＝1的α的值．预设的师生活动：由学生逐题给出答案，并要求学生说出解答步骤，最后可以总结为“画终边，找交点坐标，算比值（对正切函数）”．预设答案：（1）sinπ＝0，cosπ＝－1，tanπ＝0；sin2π3＝－1，cos2π3＝0，tan2π3不存在．（2）α＝0，2π，－2π等．设计意图：检验学生对定义的理解情况．例2如图4，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r．求证：sinα=ry，cosα=rx，tanα=xy．师生活动：给出问题后，教师可以引导学生思考如下问题，再让学生给出证明：（1）你能根据三角函数的定义作图表示出sinα，cosα吗？（2）在你所作出的图形中，ry，rx，xy各表示什么，你能找到它们与做任意角α的三角函数的关系吗？图3预设答案：如图5，设角α的终边与单位圆交于点P0(x0，y0)．分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，垂足分别为M，M0，则|P0M0|=|y0|，|PM|=|y|，|OM0|=|x0|，|OM|=|x|，△OMP∽△OM0P0．于是rPMMP||1||00，即|y0|=ry||．因为y0与y同号，所以y0=ry，即sinα=ry．同理可得cosα=rx；tanα=xy．设计意图：通过问题引导，使学生找到△OMP，△OM0P0，并利用它们的相似关系，根据三角函数的定义得到证明．追问：例2实际上给出了任意角三角函数的另外一种定义，而且这种定义与已有的定义是等价的．你能用严格的数学语言叙述一下这种定义吗？预设的师生活动：可以由几个学生分别给出定义的表述，在交流的基础上得出准确的定义．预设答案：设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，则ry、rx、xy分别叫做角α的正弦、余弦、正切．设计意图：加深学生对三角函数定义的理解．练习：在例2之后进行课堂练习：（3）已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1rad/s．求2s时点P所在的位置．图5图4预设的师生活动：由学生独立完成后，让学生代表展示作业．预设答案：以坐标原点为圆心O，OP所在直线为x轴正方向建立平面直角坐标系．2s时点P所在位置记为Q．因为点P是在半径为2的圆上按顺时针方向作匀速圆周运动，角速度为1rad/s，所以圆心角∠POQ＝－2rad．所以2s时，点P在该坐标系中的位置为（2cos2，－2sin2）．设计意图：三角函数是刻画匀速圆周运动的数学模型，通过练习使学生从另一个角度理解三角函数的定义．（三）布置作业（四）目标检测设计（1）利用三角函数定义，求6π7的三个三角函数值．（2）已知角θ的终边过点P(－12，5)，求角θ的三角函数值．预设答案：（1）sin6π7＝－21，cos6π7＝－23，tan6π7＝33；（2）sinθ＝513，cosθ＝－1213，tanθ＝－512．设计意图：考查学生对三角函数定义的理解情况．