解析几何课件(第四版)-文档资料

解析几何课件(第四版)吕林根许子道等编第四章柱面锥面旋转曲面与二次曲面第五章二次曲线的一般理论第一章矢量与坐标第三章平面与空间直线第二章轨迹与方程第二章轨迹与方程§2.1平面曲线的方程§2.2曲面的方程§2.4空间曲线的方程§2.3母线平行与坐标轴的柱面方程第四章柱面锥面旋转曲面与二次曲面§4.1柱面§4.3旋转曲面§4.2锥面§4.4椭球面§4.5双曲面第五章二次曲线的一般理论§5.3二次曲线的切线§5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线0),,(0),,(zyxGzyxF空间曲线的一般方程曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.xozy1S2SC空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点：§2.1平面曲线的方程下一页返回例1方程组表示怎样的曲线？632122zxyx解122yx表示圆柱面，632zx表示平面，632122zxyx交线为椭圆.上一页下一页返回例2方程组4)2(222222ayaxyxaz解222yxaz上半球面,4)2(222ayax圆柱面,交线如图.表示怎样的曲线？上一页返回水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面方程的定义：如果曲面S与三元方程0),,(zyxF有下述关系：（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程；（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；那么，方程0),,(zyxF就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程的图形．曲面的实例：§2.2曲面的方程下一页返回以下给出几例常见的曲面.例1建立球心在点),,(0000zyxM、半径为R的球面方程.解设),,(zyxM是球面上任一点，RMM||0根据题意有Rzzyyxx2020202202020Rzzyyxx所求方程为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx上一页下一页返回得上、下半球面的方程分别是：202020202020)()()()(yyxxRzzyyxxRzz当A2+B2+C2-4D0时,是球面方程.2202020Rzzyyxx由由上述方程可得球面的一般式方程为：反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到：x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0（*）(x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4上一页下一页返回例2求与原点O及)4,3,2(0M的距离之比为2:1的点的全体所组成的曲面方程.解设),,(zyxM是曲面上任一点，,21||||0MMMO根据题意有,21432222222zyxzyx.911634132222zyx所求方程为上一页下一页返回例3已知)3,2,1(A，)4,1,2(B，求线段AB的垂直平分面的方程.设),,(zyxM是所求平面上任一点，根据题意有|,|||MBMA222321zyx,412222zyx化简得所求方程.07262zyx解上一页下一页返回zxyo例4方程的图形是怎样的？1)2()1(22yxz根据题意有1z用平面cz去截图形得圆：)1(1)2()1(22ccyx当平面cz上下移动时，得到一系列圆圆心在),2,1(c，半径为c1半径随c的增大而增大.图形上不封顶，下封底．解c以上方法称为截痕法.上一页下一页返回以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．上一页返回xozyxozyyx22抛物柱面xy平面yx22xy抛物柱面方程：平面方程：),,(zyxM)0,,(1yxM§2.3母线平行与坐标轴的柱面方程下一页返回从柱面方程看柱面的特征：只含yx,而缺z的方程0),(yxF，在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线为xoy面上曲线C:0),(yxF.（其他类推）实例12222byax椭圆柱面，z12222bzax双曲柱面，ypxy22抛物柱面，z母线//轴母线//轴母线//轴上一页下一页返回12222byaxzxyo椭圆柱面上一页下一页返回zxy12222bzaxo双曲柱面上一页下一页返回pxy22zxyo抛物柱面上一页返回)()()(tzztyytxx当给定1tt时，就得到曲线上的一个点),,(111zyx，随着参数的变化可得到曲线上的全部点.空间曲线的参数方程一、空间曲线的参数方程§2.4空间曲线的方程下一页返回动点从A点出发，经过t时间，运动到M点例3如果空间一点M在圆柱面222ayx上以角速度绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升（其中、v都是常数），那么点M构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．AMMM在xoy面的投影)0,,(yxMtaxcostaysinvtzt螺旋线的参数方程取时间t为参数，解xyzo上一页下一页返回螺旋线的参数方程还可以写为bzayaxsincos),(vbt螺旋线的重要性质：,:00,:00bbbz上升的高度与转过的角度成正比．即上升的高度bh2螺距,2上一页返回水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面方程的定义：如果曲面S与三元方程0),,(zyxF有下述关系：（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程；（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；那么，方程0),,(zyxF就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程的图形．曲面的实例：§4.1柱面下一页返回观察柱面的形成过程:定义4.1.1平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.母线准线上一页下一页返回柱面举例：xozyxozyyx22抛物柱面xy平面yx22xy抛物柱面方程：平面方程：),,(zyxM)0,,(1yxM上一页下一页返回从柱面方程看柱面的特征：只含yx,而缺z的方程0),(yxF，在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线为xoy面上曲线C:0),(yxF.（其他类推）实例12222czby椭圆柱面，x12222byax双曲柱面，zpzx22抛物柱面，y母线//轴母线//轴母线//轴上一页下一页返回1.椭圆柱面12222byaxxyzO2.双曲柱面12222byaxxozy上一页返回定义4.2.1通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做锥面.这些直线都叫做锥面的母线.那个定点叫做锥面的顶点.锥面的方程是一个三元方程.特别当顶点在坐标原点时：§4.2锥面下一页返回n次齐次方程F(x,y,z)=0的图形是以原点为顶点的锥面；方程F(x,y,z)=0是n次齐次方程：).,,(),,(zyxFttztytxFn若准线顶点F(x,y,z)=0.反之，以原点为顶点的锥面的方程是n次齐次方程锥面是直纹面x0zy锥面的准线不唯一，和一切母线都相交的每一条曲线都可以作为它的母线.上一页下一页返回请同学们自己用截痕法研究其形状.0222222czbyax椭圆锥面上一页下一页返回例1直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角20叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为的圆锥面方程．xozy解yoz面上直线方程为cotyz圆锥面方程cot22yxzoxzy2222yxaz或上一页返回定义4.3.1以一条曲线绕其一条定直线旋转一周所产生的曲面称为旋转曲面或称回旋曲面.这条定直线叫旋转曲面的旋转轴．这条曲线叫旋转曲面的母线．§4.3旋转曲面下一页返回曲线C00),(xzyfCyzo绕z轴上一页下一页返回曲线C00),(xzyfxCyzo绕z轴.上一页下一页返回曲线C00),(xzyf旋转一周得旋转曲面SCSMN),,0(11zyzz1zPMPy||11y1zyzo绕z轴.22yxf(y1,z1)=0M(x,y,z).xS上一页下一页返回曲线C00),(xzyf旋转一周得旋转曲面SxCSMN),,0(11zyzz1zPMPy||11y1z0),(22zyxfS：.绕z轴..22yxf(y1,z1)=0M(x,y,z)f(y1,z1)=0f(y1,z1)=0.yzoS上一页下一页返回xozy0),(zyf),,0(111zyMM),,,(zyxM设1)1(zz（2）点M到z轴的距离||122yyxd建立旋转曲面的方程：如图将代入2211,yxyzz0),(11zyfd,0,22zyxf得方程上一页下一页返回yoz坐标面上的已知曲线0),(zyf绕z轴旋转一周的旋转曲面方程.,0,22zyxf方程同理：yoz坐标面上的已知曲线0),(zyf绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为.0,22zxyf上一页下一页返回例1将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．（1）xOz面上双曲线12222czax分别绕x轴和z轴；绕x轴旋转122222czyax旋转双叶双曲面yzoxyzox上一页下一页返回绕z轴旋转122222czayx（1）xOz面上双曲线12222czax分别绕x轴和z轴；xyozxyoz旋转单叶双曲面上一页下一页返回（2）yOz面上椭圆12222czay绕y轴和z轴；绕y轴旋转绕z轴旋转122222czxay122222czayx旋转椭球面xyzxyz上一页下一页返回（3）yOz面上抛物线pzy22绕z轴；pzyx222旋转抛物面xyzoxyzo0p上一页下一页返回几种特殊旋转曲面1双叶旋转曲面2单叶旋转曲面3旋转锥面4旋转抛物面5环面上一页下一页返回xzbyax双曲线0y1双叶旋转双曲面绕x轴一周上一页下一页返回xzbyax双曲线0zy.绕x轴一周1双叶旋转双曲面上一页下一页返回x0zy得双叶旋转双曲面122222bzyax.zbyax双曲线1双叶旋转双曲面.绕x轴一周上一页下一页返回axyo2单叶旋转双曲面上题双曲线绕y轴一周012222zbyax上一页下一页返回axyoz.上题双曲线绕y轴一周012222zbyax2单叶旋转双曲面上一页下一页返回a.xyoz得单叶旋转双曲面122222byazx..2单叶旋转双曲面上题双曲线绕y轴一周012222zbyax上一页下一页返回002222=z=byax3旋转锥面两条相交直线绕x轴一周xyo上一页下一页返回002222=z=byax.两条相交直线绕x轴一周xyoz3旋转锥面上一页下一页返回xyoz002222=z=byax.两条相交直线绕x轴一周得旋转锥面022222bzyax.3旋转锥面上一页下一页返回yoz02xazy4旋转抛物面抛物线绕z轴一周上一页下一页返回yoxz02xazy.抛物线绕z轴一周4旋转抛物面上一页下一页返回yayxz22.oxz生活中见过这个曲面吗？.4旋转抛物面02xazy抛物线绕z轴一周得旋转抛物面上一页下一页返回5环面yxorR)0()222rRryRx（圆绕y轴旋转所成曲面上一页下一页返回5环面z绕y轴旋转所成曲面yxo.)0()222