祖冲之与圆周率

•祖冲之（公元429-500年）是我国南北朝时期，河北省涞源县人．他从小就阅读了许多天文、数学方面的书籍，勤奋好学，刻苦实践，终于使他成为我国古代杰出的数学家、天文学家．•祖冲之在数学上的杰出成就，是关于圆周率的计算．秦汉以前，人们以径一周三做为圆周率，这就是古率．后来发现古率误差太大，圆周率应是圆径一而周三有余，不过究竟余多少，意见不一．•直到三国时期，刘徽提出了计算圆周率的科学方法--割圆术，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长．刘徽计算到圆内接96边形，求得π=3.14，并指出，内接正多边形的边数越多，所求得的π值越精确．•祖冲之在前人成就的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，求出π在3.1415926与3.1415927之间．并得出了π分数形式的近似值，取为约率，取为密率，其中取六位小数是3.141929，它是分子分母在1000以内最接近π值的分数．•祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从考查．若设想他按刘徽的割圆术方法去求的话，就要计算到圆内接16，384边形，这需要化费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的．祖冲之的对圆周率的巨大贡献那圆周率又是怎样的呢？2020年10月22日数学简史7圆周率圆周率，一般以π来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数。它定义为圆形之周长与直径之比。它也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键。分析学上，π可定义为是最小的x0使得sin(x)=0。2020年10月22日数学简史9常用的π近以值包括疏率:22/7及密率:355/113。这两项均由祖冲之给出。π约等于（精确到小数点后第100位）3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706802020年10月22日数学简史10古希腊欧几里得的《几何原本》（约公元前3世纪初）中提到圆周率是常数，中国古算书《周髀算经》（约公元前2世纪）中有「径一而周三」的记载，也认为圆周率是常数。历史上曾采用过圆周率的多种近似值，早期大都是通过实验而得到的结果，如古埃及纸草书（约公元前1700）中取π=（4/3）^4≒3.1604。2020年10月22日数学简史11第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他在《圆的度量》（公元前3世纪）中用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，从正六边形开始，逐次加倍计算到正96边形，得到(3+(10/71))π(3+(1/7))，开创了圆周率计算的几何方法（亦称古典方法，或阿基米德方法），得出精确到小数点后两位的π值。2020年10月22日数学简史12中国数学家刘徽在注释《九章算术》时（公元263年）只用圆内接正多边形就求得π的近似值，也得出精确到两位小数的π值，他的方法被后人称为割圆术，其中有求极限的思想。2020年10月22日数学简史13南北朝时代的数学家祖冲之利用割圆术进一步得出精确到小数点后7位的π值（公元466年），给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22/7，这一纪录在世界上保持了一千年之久。为纪念祖冲之对中国圆周率发展的贡献，将这一推算值用他的名字被命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。2020年10月22日数学简史14其中的密率在西方直到1573才由德国人奥托得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中，欧洲称之为安托尼斯率。阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。德国数学家柯伦于1596年将π值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。2020年10月22日数学简史15除π的数值计算外，它的性质探讨也吸引了众多数学家。1761年瑞士数学家兰伯特第一个证明π是无理数。1794年法国数学家勒让德又证明了π2也是无理数。到1882年德国数学家林德曼首次证明了π是超越数，由此否定了困惑人们两千多年的「化圆为方」尺规作图问题。还有人对π的特征及与其它数字的联系进行研究。如1929年苏联数学家格尔丰德证明了eπ是超越数等等。2020年10月22日数学简史16在历史上,有不少数学家都对圆周率作出过研究,当中著名的有阿基米德、托勒密、张衡、祖冲之等。他们在自己的国家用各自的方法,辛辛苦苦地去计算圆周率的值。下面,就是世上各个地方对圆周率的研究成果。2020年10月22日数学简史17研究圆周率历史的几个阶段起承转接2020年10月22日数学简史18起【起】即为圆周率的起源，那究竟是谁先发现它？古巴比伦人从计算周界发现：一块出土于1936年的黏土块上记载，在古巴比伦时期(约公元前1900-1600年)，巴比伦人相信六边形的周界为0;57,36(以底数60计，亦即=96/100=24/25)乘以它的外接圆的周界：六边形周界=24/25′其外接圆周界=24/25′π′直径由此，得出相信是最古老的圆周率的近似值：π〔巴比伦〕=25/8=3.1252020年10月22日数学简史19承【承】是承继安提丰和布赖森的「穷举法」而发展的一个时期：以「多边形」找寻圆周率的值2020年10月22日数学简史20古希腊西那库斯的阿基米德（ArchimedesofSyracuse，公元前287-212年），是第一个有系统地找出圆周率的近似值和圆周率的上下限的数学家。他采用了安提丰和布赖森的「穷举法」，但他的研究重点则在多边形的周界。阿基米德在《圆的度量》（TheMeasurementoftheCircle）中，提出三个有关圆的定理。即：3.14084...π3.14285...2020年10月22日数学简史21刘徽是独立开创以多边形面积迫近圆面积的穷举法－「割圆术」来找出圆周率的值的。最后，刘徽更求得正3072边形的面积，从而得出：π=3927/1250=3.1416即π的值准确至小数后三个位，后人称为「徽率」。2020年10月22日数学简史22祖冲之运用了刘徽的「割圆术」及他无比的耐性与坚持（当时并没有算盘等计算工具，只能靠小竹子帮助计算，但他实质的计算方法则无从确定），算到:3.1415926π3.1415927他还发现了「约率」：祖冲之更取π=22/7（=3.14...）作为「约率」「密率」：π=355/113（=3.1415929）作为「密率」，以表示圆周率的近似值。「祖率」：是圆周率的值准确至小数后7个位，后称3.1415926。2020年10月22日数学简史23转【转】是寻求圆周率的一个转折点。圆周率的计算有了新的突破－以解析表达式表示及求出圆周率的值。2020年10月22日数学简史24接「接」是紧接着以上发现的很多计算圆周率值的公式所延伸的一个时期：随着科技的突飞猛进，计算机的发明，令圆周率的计算速度有了新的突破。2020年10月22日数学简史25圆周率的研究方法古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；LudolphVanCeulen用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。除了这些经典公式外，还有很多其它公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了。2020年10月22日数学简史261、Machin公式：这个公式由英国天文学教授JohnMachin于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。2020年10月22日数学简史272、Ramanujan公式：1914年，印度数学家SrinivasaRamanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式，这是其中之一。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。2020年10月22日数学简史283、AGM(Arithmetic-GeometricMean)算法：Gauss-Legendre公式：初值：重复计算：最后计算：2020年10月22日数学简史294、Borwein四次迭代式：初值：重复计算：最后计算：这个公式由JonathanBorwein和PeterBorwein于1985年发表，它四次收敛于圆周率。2020年10月22日数学简史305、Bailey-Borwein-Plouffe算法：这个公式简称BBP公式，由DavidBailey,PeterBorwein和SimonPlouffe于1995年共同发表。它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n位，而不用计算前面的n-1位。这为圆周率的分布式计算提供了可行性。1997年，FabriceBellard找到了一个比BBP快40％的公式：2020年10月22日数学简史31圆周率的新纪录圆周率的最新计算纪录由两位日本人DaisukeTakahashi和YasumasaKanada所创造。他们在日本东京大学的IT中心，以Gauss-Legendre算法编写程序，利用一台每秒可执行一万亿次浮点运算的超级计算机，从日本时间1999年9月18日19:00:52起，计算了37小时21分04秒，得到了圆周率的206,158,430,208(3*236)位十进制精度，之后和他们于1999年6月27日以Borwein四次迭代式计算了46小时得到的结果相比，发现最后45位小数有差异，因此他们取小数点后206,158,430,000位的值为本次计算结果。这一结果打破了他们于1999年4月创造的68,719,470,000位的世界纪录。2020年10月22日数学简史32人们追寻圆周率π的历史至今已有四千年，由发现圆周和直径的比为一常数，进而以多边形迫近圆的方法求π值，转成发现更多计算及表示π的公式、级数再随着电脑的发明与科技的发展，圆周率值的位数得以突飞猛进2020年10月22日数学简史33Theend2020年10月22日数学简史34