二次函数y=ax2+k的图象和性质-优秀教学设计(教案)

22.1.3二次函数y=ax2+k的图象和性质教学目标：1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋k的图象。2、让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋k的性质及它与函数y＝ax2的关系。重点难点：1.会用描点法画出二次函数y＝ax2＋k的图象，理解二次函数y＝ax2＋k的性质，理解函数y＝ax2＋k与函数y＝ax2的相互关系是教学重点。2.正确理解二次函数y＝ax2＋k的性质，理解抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2的关系是教学的难点。教学过程：一、复习引入二次函数y=ax2的性质y=ax2a＞0a＜0图象OO开口向上开口向下开口|a|越大，开口越小对称性关于y轴对称顶点坐标是原点（0，0）顶点顶点是最低点顶点是最高点增减性在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减2．二次函数y＝x2＋1的图象与二次函数y＝x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?二次函数y＝x2-1的图象呢？二、分析问题，解决问题问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究?(画出函数y＝x2和函数y＝x2+1的图象，并加以比较)问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2-1与y＝x2＋1的图象吗?解：(1)列表：x…-3-2-10123…y＝x2＋1…105212510…y＝x2-1…830-1038…(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝x2-1和y＝x2＋1的图象。问题2：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?教师引导学生观察上表，当x依次取－3，－2，－1，0，1，2，3时，两个函数的函数值之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝x2＋1的函数值都比函数y＝x2的函数值大1。教师引导学生观察函数y＝x2＋1和y＝x2的图象，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝x2＋1的图象上的点都是由函数y＝x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。问题3：函数y＝x2＋1和y＝x2的图象有什么联系?由问题3的探索，可以得到结论：函数y＝x2＋1的图象可以看成是将函数y＝x2的图象向上平移一个单位得到的。问题4：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗?让学生观察两个函数图象，说出函数y＝x2＋1与y＝x2的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。问题5：你能由函数y＝x2的性质，得到函数y＝x2＋1的一些性质吗?完成填空：当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______．以上就是函数y＝x2＋1的性质。三、做一做问题7：先在同一直角坐标系中画出函数y＝x2－1与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别?让学生发表意见，归纳为：函数y＝x2－1与函数y＝x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同。函数y＝x2－1的图象可以看成是将函数y＝x2的图象向下平移两个单位得到的。问题8：你能说出函数y＝x2－1的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函数的性质吗?1．让学生口答，函数y＝x2－1的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，－1)；2．分组讨论这个函数的性质，各组选派一名代表发言，达成共识：当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大，当x＝0时，函数取得最小值，最小值y＝－1。思考：把抛物线y=2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？向下平移3.4个单位呢？小结：把抛物线y=ax2向上平移k个单位，就得到抛物线y=ax2+k；把抛物线y=ax2向下平移k个单位，就得到抛物线y=ax2-k问题9：在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：y=-0.5x2，y=-0.5x2+2,y=-0.5x2-2观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴及顶点。要求学生能够画出函数y=-0.5x2，y=-0.5x2+2,y=-0.5x2-2的草图，由草图观察得出结论：函数y=-0.5x2+2,y=-0.5x2-2的图象与函数y=-0.5x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y=-0.5x2-2的图象可以看成将函数y=-0.5x2的图象向下平移两个单位得到的。想一想：抛物线y=ax2+k中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？总结：二次函数y=ax2+k的性质y＝ax2+ka＞0a＜0图象开口向上开口向下开口|a|越大，开口越小对称性关于y轴对称顶点坐标是原点（0，k）顶点顶点是最低点顶点是最高点增减性在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减例(1)抛物线y=ax2＋c与y=－５x2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是（０，３），则其表达式为　　　　　，它是由抛物线y=－５x2向　　平移　　个单位得到的．(2)抛物线y=ax2＋c与y=３x2的形状相同，且其顶点坐标是（０，１），则其表达式为　　　　　　　　　　　，小试牛刀：1、把抛物线y=-2x2向上平移3个单位长度，得到的抛物线是　　　　　　　　　　　2、把抛物线y=-x2-2向下平移5个单位，得到的抛物线是　　　　　　　　　　　3、一条抛物线向上平移2.5个单位后得到抛物线y=0.5x2，原抛物线是　　　　　　　　　　　4、分别说下列抛物线的开口方向，对称轴、顶点坐标、最大值或最小值各是什么及增减性如何？（1）y=-x2-3（2）y=1.5x2+7（3）y=2x2-1(4)y=−2x2+3更进一步：1、按下列要求求出二次函数的解析式：（1）已知抛物线y=ax2+c经过点（-3，2），（0，-1）求该抛物线线的解析式（2）对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3，且经过（1，2）的点的解析式。2.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是()A.对称轴B.开口方向C.顶点D.形状3.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1，y1),(x2，y2)且x1＜x2＜0，则y1y2(填“＜”或“＞”)4.已知一个二次函数图像的顶点在y轴上，并且离原点1个单位，图像经过点(–1,0)，求该二次函数解析式。四、课堂小结二次函数的图象及性质：(1)形状、对称轴、顶点坐标；(2)开口方向、极值、开口大小；(3)对称轴两侧增减性。五、作业：　　　　kaxy2