概率统计期中试卷(2013)-答案

1一、(15分)甲乙丙三人在同一办公室工作，房间里有三部电话。根据以往经验，打给甲乙丙电话的概率分别为𝟐𝟓，𝟐𝟓，𝟏𝟓，他们三人外出的概率分别为𝟏𝟐，𝟏𝟒，𝟏𝟒，假设三人行动各自独立。计算下列事件的概率：（1）无人接听电话；（2）被呼叫人在办公室；（3）若某时段打入3个电话，这3个电话打给不相同的人的概率。解：用A、B、C表示电话打给甲乙丙，用A1、B1、C1表示甲乙丙在办公室（1）设D={无人接听电话}，则PD=PA1B1C1=PA1PB1PC1=12∗14∗14=132（2）设E={被呼叫人在办公室}，则PE=PAA1+BB1+CC1=PAA1+PBB1+PCC1=25∗12+25∗34+15∗34=1320（3）设F={3个电话打给不相同的人}，则第一个电话打给甲、第二个电话打给乙、第三个电话打给丙的概率为PABC=PAPBPC=4125，这样的事件有3!=6个，所以PF=6∗4125=24125二、(10分)炮战中，若在距目标250米，200米，150米处射击的概率分别为0.1，0.7，0.2，而在各该处射击时命中目标的概率分别为0.05，0.1，0.2，现在已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由距离目标250米处射出的概率。解：用A、B、C分别表示炮弹在在距目标250米，200米，150米处射击，用D表示目标被击毁，则PA=0.1，PB=0.7，PC=0.2；PDA=0.05，PDB=0.1，PDC=0.2根据Bayes公式，厦门大学《概率统计A》期中试卷＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业主考教师：试卷类型：（A卷）2PAD=PDAPAPDAPA+PDBPB+PDCPC=0.05∗0.10.05∗0.1+0.1∗0.7+0.2∗0.2=123=0.0435，三、(10分)甲乙两人各出赌注a，约定谁先胜三局则赢得全部赌注，现已赌三局，甲两胜一负，这时因故中止赌博，若两人赌技相同，且每局相互独立，问应如何分配赌注才算公平？解：用A表示乙最终获得胜利，用Ai表示第i局乙获胜，则PAi=12，由于甲两胜一负，并且各局相互独立，如果乙最终获胜，则必须连赢两局，所以P乙最终获胜=PA4PA5=14，所以，P甲最终获胜=34，甲乙两人应该以3:1的方式分配赌注才公平。四、(10分)假设随机变量X服从参数为(𝛍，𝛔𝟐)的正态分布，计算𝐘=𝐗−𝟏的密度函数。解：记X的分布函数为FXx，Y的分布函数为FYy。当y0时，FYy=PY≤y=PX−1≤y=PX−1≤y,X0+PX−1≤y,X0=0+P1y𝑋0=FX0−FX1y当y=0时，FY0=PY≤0=PX−1≤0=PX0=FX0当y0时，FYy=PY≤y=PX−1≤y=PX−10+P0≤X−1≤y=PX0+PX1y=FX0+1−FX1y所以FYy=FX0−FX1y,y0FX0,y=0FX0+1−FX1y,y03Y的密度函数为fYy=FY′y=1y2fX1y=12πςy2∗exp−1−μy22ς2y2五、(15分)甲每天收到的电子邮件数服从泊松分布，参数为𝛌，每封电子邮件被过滤的概率为0.2，计算（1）当有n封电子邮件发给甲的时候，甲见到其中k封的概率𝐩𝐤；（2）甲每天见到的电子邮件数的分布；（3）甲每天见到的电子邮件数和被过滤掉的电子邮件数是否独立。解：（1）pk=Cnk0.8k0.2n−k（2）用X表示甲每天见到的电子邮件数，用Y表示甲每天收到的电子邮件数,则PX=k=P(X=k,Y=n)∞n=k=PX=kY=n)∞n=kPY=n=n!k!n−k!0.8k0.2n−k𝝀nn!e−𝝀∞n=k=𝝀nk!n−k!0.8k0.2n−ke−𝝀∞n=k令t=n−k,则PX=k=𝝀t0.2tt!(0.8𝝀)ke−𝝀k!∞t=0=(0.8𝝀)ke−𝝀k!𝒆0.2𝝀=(0.8𝝀)kk!𝒆−0.8𝝀，k=0，1，2…（3）用Z表示被过滤掉的电子邮件数，则（X,Z）的联合分布为PX=m,Z=n=PX=m,Y=m+n=m+n!n!m!0.8m0.2n𝝀m+nm+n!e−𝝀=𝝀m+nn!m!0.8m0.2ne−𝝀，m,n=0，1，2…故Z的边缘分布为PZ=n=𝝀m+n0.8m0.2ne−𝝀n!m!∞m=0=(0.2𝝀)ne−𝝀n!0.8λmm!∞m=0=(0.2𝝀)nn!𝒆−0.2𝝀，n=0，1，2…由于PX=m,Z=n=PX=mPZ=n，所以X与Z相互独立，即甲每天见到的电子邮件数和被过滤掉的电子邮件数是相互独立的。4六、(10分)设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布，在𝐗=𝐱(𝟎𝑥1)的条件下，随机变量Y在区间(0,x)上服从均匀分布，求（1）Y的边缘密度；（2）概率𝐏(𝐗+𝐘1)。解：（1）X的概率密度为fXx=1,0𝑥10,其他在在X=x(0𝑥1)的条件下，随机变量Y的条件密度为fY|Xy|x=1x,0𝑦𝑥10,其他（X，Y）的联合概率密度为fx,y=fY|Xy|x∗fXx，所以fx,y=1x,0𝑦𝑥10,其他而Y的概率密度为fYy=fx,ydx∞−∞，因此fYy=1xdx1y,0𝑦10,其他=−lny,0𝑦10,其他（2）所求概率PX+Y1=fx,ydxdyx+y1=dx11/21xx1−xdy=1−ln2七、(10分)假设X，Y的联合概率分布为YX-101-1a00.200.1b0.1100.2c且𝐏𝐗𝐘≠𝟎=𝟎.𝟒，𝐏𝐘≤𝟎|𝐗≤𝟎=𝟐𝟑，求𝐗+𝐘的概率分布。解：由于0.4=PXY≠0=a+0.2+c，523=PY≤0|X≤0=a+0.1+ba+0.1+b+0.2，1=a+0.2+0.1+b+0.1+0.2+c解得a=0.1，b=0.2，c=0.1。X+Y的可能取值为-2，-1,0,1,2，相应的概率为PX+Y=−2=PX=−1，Y=−1=0.1，PX+Y=−1=PX=−1，Y=0+PX=0，Y=−1=0.1，PX+Y=0=PX=0，Y=0+PX=1，Y=−1+PX=−1，Y=1=0.4，PX+Y=1=PX=1，Y=0+PX=0，Y=1=0.3，PX+Y=2=PX=1，Y=1=0.1八、(10分)设随机变量X、Y的联合密度函数为fx，y=32x3y2,𝑥1，1𝑥𝑦x20,其他，求𝐄𝐘，𝐄𝐗𝐘−𝟏。解一：根据二维随机变量函数数学期望的计算EY=yfx,ydxdy=dxy32x3y2dyx1x∞1=32x31ydyx1xdx∞1=3x3lnxdx∞1=−32lnxd1x2∞1=321x3d∞1x=34EXY−1=xy−1fx,ydxdy=dx32x4y3dyx1x∞1=−341x4∞11x2−x2dx=−34∗15+34=35解二：先求Y的边缘密度函数，再计算数学期望。6fYy=fx，y∞−∞dx=0,y032x3y2dx∞1y,0𝑦132x3y2dx∞y,y1=0,y034,0𝑦134y4,y1，EY=yfYydy∞−∞=34ydy10+34y3dy∞1=34九、(10分)假设随机变量X、Y均服从参数为(𝛍，𝛔𝟐)的正态分布，并且X、Y相互独立，计算𝐙𝟏=𝛂𝐗+𝛃𝐘，𝐙𝟐=𝛂𝐗−𝛃𝐘的相关系数。解一：由于X、Y均服从参数为(μ，ς2)的正态分布，故EX=EY=μ，DX=DY=ς2，ρ=Cov(Z1，Z2)DZ1DZ2=EZ1Z2−EZ1EZ2DZ1DZ2由于EZ1=EαX+βY=α+βμ，EZ2=EαX−βY=α−βμ，EZ1Z2=EαX+βYαX−βY=Eα2X2−β2Y2=α2−β2(ς2+μ2)，DZ1=DαX+βY=α2DX+β2DY=α2+β2ς2，DZ2=DαX+βY=α2+β2ς2，所以，ρ=α2−β2ς2+μ2−α+βμα−βμα2+β2ς2=α2−β2α2+β2解二：利用协方差的性质，CovZ1，Z2=CovαX+βY，αX−βY=α2CovX，X−β2CovY，Y=α2DX−β2DY=(α2−β2)ς2所以，ρ=Cov(Z1，Z2)DZ1DZ2=α2−β2α2+β2