高等数学(同济大学版)-课程讲解-1.2数列的极限

课时授课计划课次序号：02一、课题：§1.2数列的极限二、课型：新授课三、目的要求：1.理解数列极限的概念；2.了解收敛数列的性质.四、教学重点：数列极限的定义.教学难点：数列极限精确定义的理解与运用.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–23（2）（4），5八、授课记录：九、授课效果分析：授课日期班次2第二节数列的极限复习1.函数的概念与特性，复合函数与反函数的概念，基本初等函数与初等函数；2.数列的有关知识.极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的．例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用．设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为1A；再作内接正十二边形，其面积记为2A；再作内接正二十四边形，其面积记为3A；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正126n边形的面积记为()nAnN．这样，就得到一系列内接正多边形的面积：，，，，，，nAAAA321它们构成一列有次序的数．当n越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以nA作为圆面积的近似值也越精确．但是无论n取得如何大，只要n取定了，nA终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积．因此，设想n无限增大（记为n，读作n趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时nA也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积．这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列），，，，，，nAAAA321当n时的极限．在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积．在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明．一、数列极限的定义1.数列的概念定义1如果函数f的定义域fDN{1，2，3，…}，则函数f的值域f（N）{f（n）｜n∈N}中的元素按自变量增大的次序依次排列出来，就称之为一个无穷数列，简称数列，即f（1），f（2），…，f（n），…．通常数列也写成x1，x2，…，xn，…，并简记为{xn}，其中数列中的每个数称为一项，而xnf（n）称为一般项或通项．对于一个数列，我们感兴趣的是当n无限增大时，xn的变化趋势．以下几个均为数列：31，12，23，…，1nn，…（1）2，4，6，…，2n，…（2）1，0，1，…，11+(1)nn，…（3）1，12，13，…，1(1)nn，…（4）2，2，2，…，2，…（5）2.数列的极限当n无限增大时，若数列的项xn能与某个常数a无限地接近，则称此数列收敛，常数a称为当n无限增大时该数列的极限，如数列（1），（4），（5）均为收敛数列，它们的极限分别为1，0，2．但是，以上这种关于收敛的叙述是不严格的，我们必须对“n无限增大”与“xn无限地接近a”进行定量的描述，让我们来研究数列（4）．取0的邻域U(0,ε)．1.当ε2时，数列（4）的所有项均属于U(0,2)，即n≥1时，xn∈U(0,2)．2.当0.1时，数列（4）中除开始的10项外，从第11项起的一切项x11，x12，…，xn，…均属于(0,0.1)U，即n＞10时，(0,0.1)nxU．3.当0.0003时，数列（4）中除开始的3333项外，从第3334项起的一切项x3334，x3335，…，xn，…均属于(0,0.0003)U，即n＞3333时，(0,0.0003)nxU．如此推下去，无论ε是多么小的正数，总存在N（N为大于1的正整数），使得n＞N时，｜xn0｜1(1)0nn1n≤1N＜ε，即1(1)nnxn∈U(0,ε)．一般地，对数列极限有以下定义．定义2若对任何ε＞0，总存在正整数N，当n＞N时，|xna|ε，即(,)nxUa，则称数列{xn}收敛，a称为数列{xn}当n→∞时的极限，记为limnnx或xn→a（n→∞）．若数列{xn}不收敛，则称该数列发散．注定义中的正整数N与ε有关，一般说来，N将随ε减小而增大，这样的N也不是惟一的．显然，如果已经证明了符合要求的N存在，则比这个N大的任何正整数均符合要求，在以后有关数列极限的叙述中，如无特殊声明，N均表示正整数．此外，由邻域的定义可知，(,)nxUa等价于｜xna｜＜ε．4“数列{xn}的极限a”的几何解释：将常数a及数列x1,x2,x3,…,xn,…在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的ε邻域，即开区间(aε,aε)，如图133所示．图133因不等式|xna|ε与不等式aεxnaε等价，所以当nN时，所有的点xn都落在开区间(aε,aε)内，而只有有限个点（至多只有N个点）在这区间以外．为了以后叙述的方便，这里介绍几个符号，符号“”表示“任取”、“对于所有的”或“对于每一个”；符号“”表示“存在”；符号“max{X}”表示数集X中的最大数；符号“min{X}”表示数集X中的最小数．例1证明1lim2nn0．证ε＞0(不妨设ε1)，要使102n12n＜ε，只要2n＞1，即n＞（ln1）/ln2．因此，ε＞0，取N［（ln1）/ln2］，则当n＞N时，有102n＜ε．由极限定义可知1lim2nn0．例2证明1πlimcos4nnn0．证由于1πcos04nn1πcos4nn≤1n，故ε＞0，要使1πcos04nn＜ε，只要1n＜ε，即n＞1．因此，ε＞0，取N1，则当n＞N时，有1πcos04nn＜ε．由极限定义可知1πlimcos4nnn0．用极限的定义来求极限是不太方便的，在以后的学习中，我们将逐步介绍其他求极限的方法．二、收敛数列的性质1.唯一性定理1若数列收敛，则其极限唯一．证假设数列{xn}收敛，但极限不唯一：limnnxa，limnnxb，且a≠b，不妨设a＜b，5由极限定义，取ε2ba，则N1＞0，当n＞N1时，｜xna｜＜2ba，即32ab＜xn＜2ab,（6）N2＞0，当n＞N2时，｜xnb｜＜2ba,即2ab＜xn＜32ba,(7)取Nmax{N1,N2},则当n＞N时,(6)、(7)两式应同时成立，显然矛盾．该矛盾证明了收敛数列{xn}的极限必唯一．2.有界性定义3设有数列{xn}，若M∈R，M＞0，使对一切n1，2，…，有｜xn｜≤M，则称数列{xn}是有界的，否则称它是无界的．对于数列{xn},若M∈R，使对n1，2，…，有xn≤M，则称数列{xn}有上界；若M∈R，使对n1，2，…，有xn≥M，则称数列{xn}有下界．显然，数列{xn}有界的充要条件是{xn}既有上界又有下界．例3数列211n有界；数列{n2}有下界而无上界；数列{n2}有上界而无下界；数列{(1)1nn}既无上界又无下界．定理2若数列{xn}收敛，则数列{xn}有界．证设limnnxa，由极限定义，ε＞0，且ε＜1，N＞0，当n＞N时，｜xna｜＜ε＜1，从而｜xn｜＜1｜a｜．取Mmax{1｜a｜,｜x1｜,｜x2｜,…,｜xN｜}，则有｜xn｜≤M对一切n1，2，3，…，成立，即{xn}有界．定理2的逆命题不成立，例如数列{(1)n}有界，但它不收敛．3.保号性定理3若limnnxa，a＞0（或a＜0），则N＞0，当n＞N时，xn＞0（或xn＜0）．证设a＞0，由极限定义，对ε2a＞0，N＞0，当n＞N时，｜xna｜＜2a，即2a＜xn＜32a，故当n＞N时，xn＞2a＞0．类似可证a＜0的情形．推论设有数列{xn}，N＞0，当n＞N时，0nx(或0nx)，若limnnxa，则必有a≥0(或a≤0)．推论中，若xn＞0(或xn＜0)，我们只能推出a≥0(或a≤0),而不能推出a＞0（或a＜0）．例如1nxn＞0,但limnnxlimn1n0．64.收敛数列与其子列的关系定义4在数列{xn}中保持原有的次序自左向右任意选取无穷多个项构成一个新的数列，称它为{xn}的一个子列．在选出的子列中，记第一项为1nx，第二项为2nx，…，第k项为knx，…，则数列{xn}的子列可记为{knx}．k表示knx在子列{knx}中是第k项，nk表示knx在原数列{xn}中是第nk项．显然，对每一个k，有nk≥k；对任意正整数h，k，如果h≥k，则nh≥nk；若nh≥nk，则h≥k由于在子列{knx}中的下标是k而不是nk，因此{knx}收敛于a的定义是：ε＞0，K＞0，当k＞K时，有｜knxa｜＜ε．这时，记为limknkxa．定理4若limnnxa，则{xn}的任何子列{knx}都收敛，且都以a为极限．证由limnnxa，ε＞0，N＞0，当n＞N时，有｜xna｜＜ε．今取KN，则当k＞K时，有nk＞nKnN≥N，于是｜knxa｜＜ε．故有limknkxa．定理4用来判别数列{xn}发散有时是很方便的．如果在数列{xn}中有一个子列发散，或者有两个子列不收敛于同一极限值，则可断言{xn}是发散的．例4判别数列πsin,N8nnxn的收敛性．解在{xn}中选取两个子列：8πsin,N8kk，即8π16π8πsin,sin,sin,888k;164πsin,N8kk，即164π20πsin,sin,88k．显然，第一个子列收敛于0，而第二个子列收敛于1，因此原数列πsin8n发散．课堂总结1.数列极限的定义：lim0,,nnnxaNnNxa当时，；2.收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、收敛数列与其子列的关系．