机械动力学第二章作业(答案)

第二章习题2-1如图2-1所示，长度为L、质量为m的均质刚性杆由两根刚度为k的弹簧系住，求杆绕O点微幅振动的微分方程。222...2..011TJ2231V2(sin)(1cos)222()0m0322mlLLkmgdTVdtmgkL解：设系统处于静平衡位置时势能为，当杆顺时针偏转角时动能：势能：由能量守恒原理，得化简得：2-2如图2-2所示，质量为m、半径为r的圆柱体，可沿水平面作纯滚动，它的圆心O用刚度为k弹簧相连,求系统的振动微分方程。22...22..0111TJ,2221V()2()03m02mrJmrkrdTVdtk解：设系统处于静平衡位置时势能为，当杆顺时针偏转角时动能：势能：由能量守恒原理，得化简得：2-3如图2-3所示，质量为m、半径为R的圆柱体,可沿水平面作纯滚动，与圆心O距离为a处用两根刚度为k的弹簧相连，求系统作微振动的微分方程。图2-1图2-22.222..220111TJ,2221V(2)[()]2()032()02mRJmRkRadTVdtmRkRa解：设系统处于静平衡位置时势能为动能：势能：由能量守恒原理，得化简得：2-4求图2-4所示弹簧-质量-滑轮系统的振动微分方程(假设滑轮与绳索间无滑动)。2.222....0111TJ,2221V()2()0()02mrJMrkrdTVdtxrxrMmxkx解：设系统处于静平衡位置时势能为动能：势能：由能量守恒原理，得其中，，化简得：2-5质量可忽略的刚性杆-质量-弹簧-阻尼器系统参数如图2-5所示，2L杆处于铅垂位置时系统静平衡，求系统作微振动的微分方程。图2-3图2-4...222112233423422t230...222221122334334220111Tm(L)m(L)m[(LL)]2221V[()](1cos)2.W()()0[()][()kLLmglcLdtdTVWdtmLmLmLLcLkLLmgl设系统处于静平衡位置时势能为，当杆顺时针偏转角时动能：势能：耗散能：由能量守恒原理，得化简得：]02-6系统参数如图2-6所示，刚性杆质量可忽略，求系统的振动微分方程。2222...2211222122..22211122220.111TJ(),22211V()2()22()0()()0MrmrrakkrbdTVdtaJMrmrkrkrb解：设系统处于静平衡位置时势能为动能：势能：由能量守恒原理，得化简得：2-7试用能量法确定图2-7所示系统的振动微分方程。（假定图示位置是21mm，图示位置是系统的静平衡位置）图2-5图2-62.221221..122101T(mama)2V()cos(1cos)()0sin[]()cos0mmgadTVdtmamammg解：设系统处于静平衡位置时势能为，当杆顺时针偏转角时动能：势能：由能量守恒原理，得很小，化简得：2-8试确定图2-8所示串并联弹簧系统的等效刚度。123123123312123123111(),()eekkkkkkkkkkkkkkkkk解：弹簧、并联，和弹簧串联，则等效刚度为：2-9求跨度为L的均匀简支梁在离支承点3L处的等效刚度系数。22323L322433[]633243F243ky4eLLFLLFLyLLEIEIEIFL解：根据材料力学公式，均匀简支梁处扰度：等效刚度为：2-10系统参数如图2-9所示,刚性杆质量可忽略，求系统对于广义坐标x的等效刚度。图2-7图2-8图2-92-11一质量为m、长度为L的均匀刚性杆,在距左端O为nL处设一支承点，如图2-10所示。求杆对O点的等效质量。2-12如图2-11所示，悬臂梁长度为L,弯曲刚度为EI，质量不计。求系统的等效刚度和等效质量。2-13如图2-12所示，固定滑车力学模型中，起吊物品质量为济，滑轮绕中心0的转动惯量为0J，假定绳索与滑轮间无滑动,求系统的振动微分方程。2-14用视察法建立图2-13所示链式系统的振动微分方程。简要说明必须注意的问题。图2-10图2-11图2-122-15绳索-质量系统的参数如图2-14所示，设质量122mm各段绳索中的张力均为T,试用刚度法建立系统作微振动的微分方程。图2-13图2-14图2-152-16如图2-15所示系统中,123kkkk,12mmm,12rrr,12JJJ。求系统的振动微分方程。2-17行车载重小车运动的力学模型如图2-16所示，小车质量为1m，所受到两根刚度为k弹簧的约束，悬挂物品质量为2m，悬挂长度为L摆角很小,求系统的振动微分方程。图2-162-18离散化振动系统力学模型由哪些元件组成？质量元件、弹性元件、阻尼元件2-19实际系统离散化的依据是什么？用课外的实例举例说明。简化的程度取决于系统本身的复杂程度、外界对它的作用形式和分析结果的精度要求等（以下20-26题请用拉格朗日方程建立系统运动微分方程）2-20图2-17所示系统中，轮A沿水平面纯滚动，轮心以水平弹簧联于墙上，质量为1m的物块C以细绳跨过定滑轮B联于点A。A、B两轮皆为均质圆盘，半径为R，质量为2m。弹簧刚度为k，质量不计。当弹簧较软，在细绳能始终保持张紧的条件下，求此系统的运动微分方程。2-21在图2-18所示的运动系统中，重物1M的质量为1m，可沿光滑水平面移动；摆锤2M的质量为2m，两个物体用无重杆链接，杆长为l。试用第二类拉格朗日方程建立此系统的运动微分方程。图2-17图2-182-22运用拉格朗日方程推导单摆的运动微分方程(如图2-19)。分别以下列参数为广义坐标：(1)转角；(2)水平坐标x；(3)铅直坐标y。（1）以为广义坐标，则系统221T2(1cos)mlVmglLTV代入拉格朗日方程d0LLdt得运动微分方程sin0lg（2）以x为广义坐标，约束方程222xyl22222222220,1122()()xxxyyyxyxmxymllxVmglymgllx即则T=对上式时间求导将LTV代入拉格朗日方程得322222220llxxxxgxlx（3）以y为广义坐标，同样有约束方程222xyl222222222221,20yTmlVmglylyLTVllyyyygly有将代入拉格朗日方程得2-23斜块A的质量为Am，在常力F作用下水平向右并推动活塞杆BC向上运动；活塞与杆BC的质量为m，上端由弹簧压住，弹簧的刚度系数为k。运动开始时，系统静止，弹簧未变形。见图2-20，不计摩擦，求顶杆BC的运动微分方程。2-24质量为1m的均质杆OA长为l，可绕水平轴O在铅垂面内转动，其下端有一个与基座相连的螺线弹簧，刚度系数为k，当=0时，弹簧无变形。OA杆的A端装有可自由转动图2-20图2-19的均质圆盘，盘的质量为2m，半径为r，在盘面上作用有矩为M的常力偶，设广义坐标为和，如图2-21所示。求该系统的运动微分方程。系统的动能22222212211111123222Tmlmlmr广义坐标，对应的广义力1221sin32QMQkmmgl代入拉格朗日方程,,4iiidTTQidtqq将（1）（2）（3）代入（4）式，得2221122121sin032mrMmmmlkmgl2-25设有一个与弹簧相连的滑块A，其质量为1m，它可以沿光滑水平面无摩擦的来回滑动，弹簧的刚度系数为k。在滑块A上又连接一个单摆，如图2-22所示。摆长为l，B的质量为2m。列出该系统的运动微分方程。系统动能222212112cos22Tmxmxllx系统势能221cos2Vkxmgl拉格朗日函数222221221112coscos222LTVmxmxllxkxmgl将上式代入拉格朗日方程0iidLLdtqq化简得21222cossin0cossin0mmxmlmlkxxlg当为小量时，cos1,sin，略去高阶小量2项，有12200mmxmlkxxlg2-26图示直角三角块A可以沿着光滑水平面滑动。三角块的光滑斜面上放置一个均质圆柱体B，其上面绕有不可伸长的绳索，绳索通过滑轮C悬挂一质量为m的物块D，可沿三角块的铅直光滑槽运动。已知圆柱B的质量为2m，三角块A的质量为3m，o=30。设开始时系统处于静止状态，滑轮C的大小和质量略去不计。试确定系统中各物体的运动方程。解：系统动能2222222222211111322cos2222235323324Tmxmxymrmxyrxyrmymxmrmrymxymrx系统势能2sinVmgymgyrmgr把拉格朗日函数LTV代入拉格朗日方程0,,,iidLLixydtqq化简得图2-231图2-23图2-233633033205322xyrxyrxyrg解得：23336111011xgyggr积分得：222333311511xgtygtgtr考试复习题：一、图1所示系统中，四个弹簧均未受力，已知m＝50kg,k1＝9800N/m,k2＝k3＝4900N/m,k4＝19600N/m。试问：（1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？（2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？解：24500111132114eeeekkkkkkkkcmxxkmgxcmxmgxkee4;212;020000答：(1)x=2cm；(2)x=4cm二、图中121000/,1/kNmkNm(1).试推导这两个系统的等效刚度。(2).简述计算结果所反映出的物理意义。图串联弹簧系统和并联弹簧系统解：（1）串联弹簧系统：在质量块上施加力P弹簧1变形：11Pk；弹簧2变形：22Pk；总变形：121211()Pkk根据定义：2121kkkkPKe或21111kkKe12121000*110001(/)100011001ekkKNmkk当两弹簧串联，系统刚度取决于刚度小的弹簧。（2）并联弹簧系统：在质量块上施加力P，两弹簧变形量相等。受力不等：11Pk，22Pk由力平衡：)(2121kkPPP根据定义：21kkPKe12100011001(/)eKkkNm当两弹簧并联，系统刚度取决于刚度大的弹簧。三、如图所示为一个杠杆系统，该杠杆是不计质量的刚体。在距离支座l1处有一质量为m1的小球，在距离支座l2处有一质量为m2的小球，在距离支座l1处有一刚度为K1的弹簧，在距离支座l3处有一刚度为K2的弹簧。求：系统对于坐标x的等效质量和等效刚度。解：设使系统在x方向产生单位加速度需要施加力P，则在21,mm上产生惯性力，对支座取矩：2122111)()1(lllmlmPl221221mllmPMe设使系统在x坐标上产生单位位移需要施加力P，则在k1、k2处将产生弹性恢复力，对支点取矩:3132111)()1(lllklkPl221231kllkPKe