椭圆的简单几何性质教案(绝对经典)

第2课时椭圆的简单几何性质错误!题型分类深度解析考点一椭圆的性质【例1】(1)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A.63B.33C.23D.13(2)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是()A.0，32B.0，34C.32，1D.34，1解析(1)以线段A1A2为直径的圆是x2＋y2＝a2，又与直线bx－ay＋2ab＝0相切，所以圆心(0，0)到直线的距离d＝2aba2＋b2＝a，整理为a2＝3b2，即ba＝13.∴e＝ca＝a2－b2a＝1－ba2＝1－132＝63.(2)设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.设M(0，b)，则4b5≥45，∴1≤b2.离心率e＝ca＝c2a2＝a2－b2a2＝4－b24∈0，32.答案(1)A(2)A规律方法求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.【变式练习1】(1)已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.13B.12C.23D.34(2)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________.解析(1)设M(－c，m)，则E0，ama－c，OE的中点为D，则D0，am2（a－c），又B，D，M三点共线，所以m2（a－c）＝ma＋c，所以a＝3c，所以e＝13.(2)由题意知F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝a2－b2，因为过F2且与x轴垂直的直线为x＝c，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为Ac，b2a，Bc，－b2a.因为AB平行于y轴，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为0，－b22a，又AD⊥F1B，所以kAD·kF1B＝－1，即b2a－－b22ac－0×－b2a－0c－（－c）＝－1，整理得3b2＝2ac，所以3(a2－c2)＝2ac，又e＝ca且0＜e＜1，所以3e2＋2e－3＝0，解得e＝33(e＝－3舍去).答案(1)A(2)33考点二椭圆性质的应用【例2】(1)已知椭圆的中心在原点，离心率e＝12，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为()A.x24＋y23＝1B.x28＋y26＝1C.x22＋y2＝1D.x24＋y2＝1(2)已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|PF1→＋PF2→|的最小值是()A.0B.1C.2D.22解析(1)依题意，可设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以c＝1，又离心率e＝ca＝12，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为x24＋y23＝1，故选A.(2)椭圆的标准方程为x22＋y2＝1，因为原点O是线段F1F2的中点，所以PF1→＋PF2→＝2PO→，即|PF1→＋PF2→|＝|2PO→|＝2|PO|，椭圆上点到中心的最短距离为短半轴长，即|PO|的最小值为b＝1，所以|PF1→＋PF2→|的最小值为2.答案(1)A(2)C规律方法利用椭圆几何性质的注意点及技巧(1)在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系.(2)求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.【变式练习2】(1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A.1B.2C.2D.22(2)(2017·全国Ⅰ卷)设A，B是椭圆C：x23＋y2m＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是()A.(0，1]∪[9，＋∞)B.(0，3]∪[9，＋∞)C.(0，1]∪[4，＋∞)D.(0，3]∪[4，＋∞)解析(1)设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以12×2cb＝1，bc＝1，而2a＝2b2＋c2≥22bc＝22(当且仅当b＝c＝1时取等号)，故选D.(2)①当焦点在x轴上，依题意得0m3，且3m≥tan∠AMB2＝3.∴0m3且m≤1，则0m≤1.②当焦点在y轴上，依题意m3，且m3≥tan∠AMB2＝3，∴m≥9，综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞).答案(1)D(2)A考点三直线与椭圆(多维探究)命题角度1弦及中点弦问题【例3－1】已知椭圆x22＋y2＝1，(1)过A(2，1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；(2)求过点P12，12且被P点平分的弦所在直线的方程.解(1)设弦的端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点是M(x，y).x212＋y21＝1，①x222＋y22＝1，②①－②得y2－y1x2－x1＝－x2＋x12（y2＋y1）＝－x2y，所以－x2y＝y－1x－2，化简得x2－2x＋2y2－2y＝0(包含在椭圆x22＋y2＝1内部的部分).(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k＝－x2y＝－12，因此所求直线方程是y－12＝－12x－12，化简得2x＋4y－3＝0.规律方法弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.命题角度2直线与椭圆的位置关系(易错警示)【例3－2】已知P点坐标为(0，－2)，点A，B分别为椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且PQ→＝32QB→.(1)求椭圆E的方程；(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.解(1)由△ABP是等腰直角三角形，得a＝2，B(2，0).设Q(x0，y0)，则由PQ→＝32QB→，得x0＝65，y0＝－45，代入椭圆方程得b2＝1，所以椭圆E的方程为x24＋y2＝1.(2)依题意得，直线l的斜率存在，方程设为y＝kx－2.联立y＝kx－2，x24＋y2＝1，消去y并整理得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.(*)因直线l与E有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，故Δ＝(－16k)2－48(1＋4k2)0，解得k234.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝16k1＋4k2，x1x2＝121＋4k2，因坐标原点O位于以MN为直径的圆外，所以OM→·ON→0，即x1x2＋y1y20，又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4＝(1＋k2)·121＋4k2－2k·16k1＋4k2＋40，解得k24，综上可得34k24，则32k2或－2k－32.则满足条件的斜率k的取值范围为－2，－32∪32，2.规律方法1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.2.设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝1＋1k2[（y1＋y2）2－4y1y2](k为直线斜率).易错警示(1)设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况.(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.【变式练习3】已知椭圆E：x2t＋y23＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围.解(1)设M(x1，y1)，则由题意知y10.当t＝4时，E的方程为x24＋y23＝1，A(－2，0).由|AM|＝|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为π4.因此直线AM的方程为y＝x＋2.将x＝y－2代入x24＋y23＝1得7y2－12y＝0，解得y＝0或y＝127，所以y1＝127.因此△AMN的面积S△AMN＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t3，k0，A(－t，0)，将直线AM的方程y＝k(x＋t)代入x2t＋y23＝1得(3＋tk2)x2＋2t·tk2x＋t2k2－3t＝0.由x1·(－t)＝t2k2－3t3＋tk2得x1＝t（3－tk2）3＋tk2，故|AM|＝|x1＋t|1＋k2＝6t（1＋k2）3＋tk2.由题设，直线AN的方程为y＝－1k(x＋t)，故同理可得|AN|＝6kt（1＋k2）3k2＋t.由2|AM|＝|AN|得23＋tk2＝k3k2＋t，即(k3－2)t＝3k(2k－1)，当k＝32时上式不成立，因此t＝3k（2k－1）k3－2.t3等价于k3－2k2＋k－2k3－2＝（k－2）（k2＋1）k3－20，即k－2k3－20.由此得k－20，k3－20或k－20，k3－20，解得32k2.因此k的取值范围是(32，2).课后练习A组(时间：40分钟)一、选择题1.直线y＝x＋2与椭圆x2m＋y23＝1有两个公共点，则m的取值范围是()A.(1，＋∞)B.(1，3)∪(3，＋∞)C.(3，＋∞)D.(0，3)∪(3，＋∞)解析由y＝x＋2，x2m＋y23＝1，得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.由Δ0且m≠3及m0得m1且m≠3.答案B2.设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()A.36B.13C.12D.33解析在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2，|F1F2|＝3.故e＝2c2a＝|F1F2||PF1|＋|PF2|＝33.故选D.答案D3.已知椭圆：x24＋y2b2＝1(0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值为()A.1B.2C.3D.12解析由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b2a＝3.所以b2＝3，即b＝3.答案C4.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)及点B(0，a)，过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF＝()A.60°B.90°C.120°D.150°解析由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y＝kx＋a(k0)，与椭圆方程联立，y＝kx＋a，x2a