求离心率范围的六种方法

求解离心率范围六法山西阳城一中茹阳龙在圆锥曲线的诸多性质中，离心率经常渗透在各类题型中。离心率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据，在每年的高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起。因此求离心率的取值范围，综合性强，是解析几何复习的一个难点。笔者从事高中数学教学二十余载，积累了六种求解这类问题的通法，供同仁研讨。一、利用椭圆上一点P(x,y)坐标的取值范围，构造关于a,b,c的不等式例1若椭圆012222babyax上存在一点P，使900PA，其中0为原点，A为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e的取值范围。解：设00,yxP为椭圆上一点，则1220220byax.①因为900PA，所以以OA为直径的圆经过点P，所以020020yaxx.②联立①、②消去0y并整理得0)()(20222020xaabaxx当ax0时，P与A重合，不合题意，舍去。所以2220baabx又ax00，所以abaab2220，即22222caba得2122ac，即223e又10e，故e的取值范围是1,22二、利用圆锥曲线的焦点和曲线上一点构成的“焦三角形”三边大小关系，构造关于a,b,c不等式例2已知双曲线0,01x2222babya左、右焦点分别为F1、F2，左准线为p,是双曲线左支上一点，并且221PFPFd，由双曲线第二定义得ed1PF，所以12PFPFe.①由又曲线第一定义得aPF2PF12②由①-②得.12,12PF21eeaPFea在21PFF中，,2PF21211cFFPF所以ceeaea21212，即eee11.又1e，从而解得e的取值范围是21,1。三、利用圆锥曲线的“焦三角形”+余弦定理+均值不等式例3设椭圆012222babyax的两焦点为F1、F2，问当离心率E在什么范围内取值时，椭圆上存在点P，使21PFF=120°.解：设椭圆的焦距为2c，由椭圆的定义知aPFPF221.在21PFF中，由余弦定理得221FF21212221cos2PFFPFPFPFPF=212221PFPFPFPF=（21221)PFPFPFPF所以22212122244aPFPFPFPFca所以23,4322acca得.又10e，故e的取值范围是1,23四、利用圆锥曲线的定义，结合完全平方数（式）非负的属性构造关于a,b,c的不等式例4如图1，已知椭圆长轴长为4，以y轴为准线，且左顶点在抛物线1y2x上，求椭圆离心率e的取值范围。解：设椭圆的中心为A10，并延长交y轴于N，则A10=.xNA2,a0因为01y002x，所以1x0。所以322202caae012xN。所以椭圆离心率e的取值范围为320,。五、将题中已知不等关系巧妙转化为关于a,b,c的不等式例5如图2，已知椭圆012222babyax的两焦点为F1、F2，斜率为K的直线过右焦点F2，与椭圆交于A、B，与Y轴交于C，B为CF2的中点，若552k，求椭圆离心率e的取值范围。ycB解：设F2(C,0),直线,:cxky则)2,2(,,0ckcBckc，代入椭圆方程得14422222bkcac.又,222cab所以1)(44222222cakcac，所以1)1(4412222ekee，解得222454eeek因为552k，所以542k解,5445224eee得1542e，所以1552e六、利用圆锥曲线参数方程设点，结合正余弦函数的有界性，构造关于a,b,c的不等式例6若椭圆12222byax0ba上存在一点P，使900PA，其中O为原点，A为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e的取值范围。解：设P（sin,cosba），由900PA，得1cossincossinaabab，即（0coscos)22222baba①解得222cos1cosbab或当。重合，不合题意，舍去与时，AP1cos因此要使①有解，需11222bab，即22,1222accca解得.又10e，故e的取值范围是1,22总之，求圆锥曲线的离心率范围首先从定义出发，利用圆锥曲线上点坐标的范围和焦三角形的三边大小关系，结合参数方程中三角函数有界性和均值不等式，有时也常常转化为一元二次方程利用判别式或者完全平方数（式），具体问题具体对待，贵在划归转化。