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2019-2020学年九年级(上)期中数学试卷一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)1.已知,下列说法中,错误的是()A.B.C.D.2.下列抛物线中,过原点的抛物线是()A.y=4x2﹣1B.y=4x2+1C.y=4(x+1)2D.y=4x2+x3.下列命题中,假命题的是()A.两个等边三角形一定相似B.有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似C.两个全等三角形一定相似D.有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似4.如图,能推出DE∥BC的比例式是()A.=B.=C.=D.=5.已知线段a,b,c,求线段x,使ac=bx,下列作法正确的是()A.B.C.D.6.已知,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则以下说法不正确的是()A.根据图象可得该函数y有最小值B.当x=﹣2时,函数y的值小于0C.根据图象可得a>0,b<0D.当x<﹣1时,函数值y随着x的增大而减小二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)7.已知线段a=4cm,b=9cm,且线段a是线段b和线段c的比例中项,则线段c是.8.已知点P是线段AB的黄金分割点,AB=4厘米,则较短线段AP的长是厘米.9.已知两地的实际距离为800米,画在图上的距离(图距)为2厘米,在这样的地图上,图距为16厘米的两地间的实际距离为千米.10.计算:=.11.如图,△ABC中,∠BAC=90°,点G是△ABC的重心,如果AG=4,那么BC的长为.12.如图,在△ABC中,AC=2,BC=4,D为BC边上的一点,且∠CAD=∠B.若△ADC的面积为a,则△ABD的面积为13.将抛物线y=x2﹣2向上平移3个单位,所得抛物线的函数表达式为.14.如果抛物线y=(k+1)x2﹣2x+3的开口向上,那么k的取值范围为.15.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过(1,0)和(﹣5,0)两点,那么该抛物线的对称轴是.16.若点A(﹣3,y1)、B(0,y2)是二次函数y=2(x﹣1)2﹣1图象上的两点,那么y1与y2的大小关系是(填y1>y2、y1=y2或y1<y2).17.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=12,点D在边BC上,点E在线段AD上,EF⊥AC于点F,EG⊥EF交AB于点G.若EF=EG,则CD的长为.18.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8.点M、N分别在边AB、BC上,沿直线MN将△ABC折叠,点B落在点P处,如果AP∥BC且AP=4,那么BN=.三、解答题(19-22题每题10分,23、24题每题12分,25题14分,总分78分)19.抛物线y=x2﹣2x+c经过点(2,1).(1)求抛物线的顶点坐标;(2)将抛物线y=x2﹣2x+c沿y轴向下平移后,所得新抛物线与x轴交于A、B两点,如果AB=2,求新抛物线的表达式.20.已知:如图,在▱ABCD中,E、F分别是边DC、BC上的点,且3BF=2BC,DE=2CE.(1)求证:EF∥BD;(2)设AB=,AD=,用向量、表示向量;21.如图,在△ABC中,DE∥BC,=.(1)如果AD=4,求BD的长度;(2)如果S△ADE=2,求S四边形DBCE的值.22.某工厂生产一种火爆的网红电子产品,每件产品成本16元,工厂将该产品进行网络批发,批发单价y(元)与一次性批发量x(件)(x为正整数)之间满足如图所示的函数关系.(1)直接写出y与x之间所满足的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)若一次性批发量不低于20且不超过60件时,求获得的利润w与x的函数关系式,同时当批发量为多少件时,工厂获利最大?最大利润是多少?23.如图,已知在△ABC中AB=AC,点D为BC边的中点,点F在边AB上,点E在线段DF的延长线上,且∠BAE=∠BDF,点M在线段DF上,且∠EBM=∠C.(1)求证:EB•BD=BM•AB;(2)求证:AE⊥BE.24.已知平面直角坐标系xOy(如图1,一次函数y=x+3的图象与y轴交于点A,点M在正比例函数y=x的图象上,且MO=MA.二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A、M.(1)求线段AM的长;(2)求这个二次函数的解析式;(3)如果点B在y轴上,且位于点A下方,点C在上述二次函数的图象上,点D在一次函数y=x+3的图象上,且四边形ABCD是菱形,求点C的坐标.25.已知,如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=8,AC=6,点D在边BC上(不与点B、C重合),点E在边BC的延长线上,∠DAE=∠BAC,点F在线段AE上,∠ACF=∠B.设BD=x.(1)若点F恰好是AE的中点,求线段BD的长;(2)若y=,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域;(3)当△ADE是以AD为腰的等腰三角形时,求线段BD的长参考答案一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)1.已知,下列说法中,错误的是()A.B.C.D.【分析】根据比例的性质(合分比定理)来解答.【解答】A、如果,那么(a+b):b=(c+d):d(b、d≠0).所以由,得,故该选项正确;B、如果a:b=c:d那么(a﹣b):b=(c﹣d):d(b、d≠0).所以由,得,故该选项正确;C、由得,5a=3b,所以a≠b;又由得,ab+b=ab+a即a=b.故该选项错误;D、由得,5a=3b;又由得,5a=3b.故该选项正确;故选:C.2.下列抛物线中,过原点的抛物线是()A.y=4x2﹣1B.y=4x2+1C.y=4(x+1)2D.y=4x2+x【分析】分别求出x=0时y的值,即可判断是否过原点.解:A、y=4x2﹣1中,当x=0时,y=﹣1,不过原点;B、y=4x2+1中,当x=0时,y=1,不过原点;C、y=4(x+1)2中,当x=0时,y=4,不过原点;D、y=4x2+x中,当x=0时,y=0,过原点;故选:D.3.下列命题中,假命题的是()A.两个等边三角形一定相似B.有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似C.两个全等三角形一定相似D.有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似【分析】本题需先根据真命题和假命题的定义判断出各题的真假,最后得出结果即可.解:两个等边三角形,三角相等,一定相似,A是真命题;有一个锐角相等的两个直角三角形,三角相等,一定相似,B是真命题;全等三角形是特殊的相似三角形,C是真命题;有一个锐角相等的两个等腰三角形,其它两角不一定相等,不能判定这两个三角形相似.故选:D.4.如图,能推出DE∥BC的比例式是()A.=B.=C.=D.=【分析】由DE∥BC,根据平行线分线段成比例定理,可得,继而可求得答案,注意排除法在解选择题中的应用.解:∵DE∥BC,∴=,故A、B、D错误,C正确.故选:C.5.已知线段a,b,c,求线段x,使ac=bx,下列作法正确的是()A.B.C.D.【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可.解:由A得,即bc=ax;由B得,,即ac=bx;由C得,,即ac=bx;由D得,,即ab=cx.故选:B.6.已知,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则以下说法不正确的是()A.根据图象可得该函数y有最小值B.当x=﹣2时,函数y的值小于0C.根据图象可得a>0,b<0D.当x<﹣1时,函数值y随着x的增大而减小【分析】由抛物线开口向上得a>0,由当x=﹣2时,图象在x轴的下方,得出函数值小于0,对称轴x=﹣1在y轴的左侧得b>0,根据二次函数的性质可得当x<﹣1时,y随x的增大而减小;由此判定得出答案即可.解:由图象可知:A、抛物线开口向上,该函数y有最小值,此选项正确;B、当x=﹣2时,图象在x轴的下方,函数值小于0,此选项正确;C、对称轴x=﹣1,a>0,则b>0,此选项错误;D、当x<﹣1时,y随x的增大而减小正确,此选项.故选:C.二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)7.已知线段a=4cm,b=9cm,且线段a是线段b和线段c的比例中项,则线段c是.【分析】由c是线段a,b的比例中项,根据比例中项的定义,即可求得答案.解:∵c是线段a,b的比例中项,∴a2=bc,∵a=4cm,b=9cm,∴42=9c,∴c=cm.故答案为:.8.已知点P是线段AB的黄金分割点,AB=4厘米,则较短线段AP的长是6﹣2厘米.【分析】根据黄金比是计算.解:∵点P是线段AB的黄金分割点,∴较长线段BP=×4=2﹣2(厘米),∴较短线段AP=4﹣(2﹣2)=6﹣2(厘米),故答案为:6﹣2.9.已知两地的实际距离为800米,画在图上的距离(图距)为2厘米,在这样的地图上,图距为16厘米的两地间的实际距离为6.4千米.【分析】根据地图上的距离的比值等于实际距离的比值,列比例式即可求解.解:设图距为16厘米的两地的实际距离为x米.根据题意得到:=.解得x=6400(米),经检验:x=6400是原分式方程的解,所以图距为16厘米的两地间的实际距离为6.4千米,故答案为:6.4.10.计算:=﹣.【分析】实数的运算法则同样适用于平面向量的计算,由有理数混合运算法则解答即可.解:原式=2﹣﹣3+2=﹣.故答案是:﹣.11.如图,△ABC中,∠BAC=90°,点G是△ABC的重心,如果AG=4,那么BC的长为12.【分析】延长AG交BC于点D,根据重心的性质可知点D为BC的中点,且AG=2DG=4,则AD=6,再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解.解:如图,延长AG交BC于点D.∵点G是△ABC的重心,AG=4,∴点D为BC的中点,且AG=2DG=4,∴DG=2,∴AD=AG+DG=6,∵△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边的中线,∴BC=2AD=12.故答案为12.12.如图,在△ABC中,AC=2,BC=4,D为BC边上的一点,且∠CAD=∠B.若△ADC的面积为a,则△ABD的面积为3a【分析】通过证明△ACD∽△BCA,由相似三角形的性质求出△BCA的面积为4a,计算即可.解:∵∠CAD=∠B,∠ACD=∠BCA,∴△ACD∽△BCA,∴=()2,∴,解得,△BCA的面积为4a,∴△ABD的面积为:4a﹣a=3a,故答案为:3a.13.将抛物线y=x2﹣2向上平移3个单位,所得抛物线的函数表达式为y=x2+1.【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可.解:根据“上加下减”的原则可知,将抛物线y=x2﹣2向上平移3个单位,所得抛物线的函数表达式为y=x2﹣2+3,即y=x2+1,故答案为:y=x2+1.14.如果抛物线y=(k+1)x2﹣2x+3的开口向上,那么k的取值范围为k>﹣1.【分析】根据抛物线的开口向上列出关于k的不等式,求出k的取值范围即可.解:∵抛物线y=(k+1)x2﹣2x+3的开口向上,∴k+1>0,解得k>﹣1.故答案为:k>﹣1.15.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过(1,0)和(﹣5,0)两点,那么该抛物线的对称轴是直线x=﹣2.【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴经过两点(1,0)和(﹣5,0)的中点,于是可得到抛物线的对称轴为直线x=﹣2.解:∵点(1,0)和(﹣5,0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点,∴点(1,0)和(﹣5,0)关于对称轴对称,∴对称轴为直线x==﹣2.故答案是:直线x=﹣2.16.若点A(﹣3,y1)、B(0,y2)是二次函数y=2(x﹣1)2﹣1图象上的两点,那么y1与y2的大小关系是y1>y2(填y1>y2、y1=y2或y1<y2).【分析】分别计算出自变量为﹣3和0所对应的函数值,然后比较函数值的大小即可.解:∵点A(﹣3,y1)、B(0,y2)是二次函数y=2(x﹣1)2﹣1图象上的两点,∴y1=2(x﹣1)2﹣1=2(﹣3﹣1)2﹣1=31;y2=2(x﹣1)2﹣1=2(0﹣1)2﹣1=1,∴y1>y2.故答案为y1>y2.17.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=12,点D在边BC上,点E在线段AD上,EF⊥AC于点F,EG⊥EF交AB于点G.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