高中数学立体几何——二面角求法

.二二面面角角求求法法1.定义法即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.例1.正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的正切值为.解析：易知∠COC1是二面角C-BD-C1的平面角，且tan∠COC1=2。例2.在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60，2PAPD,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点.求：二面角P-AD-B的余弦值.解：由（1）知PGB为二面角PADB的平面角，在RtPGA中，222172()24PG；在RtBGA中，222131()24BG；在PGB中，22221cos27PGBGPBPGBPGBG.2三垂线法此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角l，过面内一点P作PA⊥于A，作AB⊥l于B，连接PB，由三垂线定理得PB⊥l，则∠PBA为二面角l的平面角，故称此法为三垂线法.例3.如图4，平面⊥平面，∩=l，A∈，B∈，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=2，求：二面角A1－AB－B1的正弦值.分析与略解：作A1E⊥AB1于AB1于E，则可证A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则得A1F⊥AB，∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.依次可求得DB1图1AOA1CBD1C1O1A图3PBl图4B1AA1BlEFPAＳBＳCＳDＳFGPAＳBＳCＳDＳFE.AB1=B1B=2，A1B=3，A1E=22，A1F=23，则在Rt△A1EF中，sin∠A1FE=A1EA1F=63.例4.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值.解:由(1)得BD⊥平面PAC,∴BD⊥AC.又四边形ABCD为矩形,∴四边形ABCD是正方形.设AC交BD于O点,∵PC⊥平面BDE,∴∠BEO即为二面角B-PC-A的平面角.∵PA=1,AD=2,∴AC=2,BO=OC=,∴PC==3,又OE===在直角三角形BEO中,tan∠BEO===3,∴二面角B-PC-A的正切值为3.例5.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=,点E是棱PB的中点.(1)若AD=,求二面角A-EC-D的平面角的余弦值..(1)过点D作DF⊥CE,交CE于F,过点F作FG⊥CE,交AC于G,则∠DFG为所求的二面角的平面角.由(Ⅰ)知BC⊥平面PAB,又AD∥BC,得AD⊥平面PAB,故AD⊥AE,从而DE==.在Rt△CBE中,CE==.由CD=,所以△CDE为等边三角形,故F为CE的中点,且DF=CD·sin=.因为AE⊥平面PBC,故AE⊥CE,又FG⊥CE,知FG=AE,从而FG=,且G点为AC的中点.连结DG,则在Rt△ADG中,DG=AC==.所以cos∠DFG==.3、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。①分别求出和的法向量nm,，则二面角l的大小为nm,或—nm,..例1.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值.由(1)可知BD⊥面PAC,∴BD⊥AC,∴矩形ABCD为正方形,建立如图所示的坐标系A-xyz,则A(0,0,0),P(0,0,1),C(2,2,0),B(2,0,0).∴=(0,0,1),=(2,2,0).设平面PAC的法向量为n1=(x,y,z),则令x=1,.∴y=-1,z=0.即n1=(1,-1,0).同理求得面PBC的一个法向量n2=(1,0,2).∴cosn1,n2=.设二面角B-PC-A的大小为α,则cosα=,∴sinα=,∴tanα=3.例2.(2014广东,18,13分)如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC=30,AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点E.(1)求二面角D-AF-E的余弦值.解法一:设AB=1,则Rt△PDC中,CD=1,∵∠DPC=30°,∴PC=2,PD=,由(1)知CF⊥DF,∴DF=,∴CF=,又FE∥CD,∴==,∴DE=,同理EF=CD=,解法二：如图所示,以D为原点,建立空间直角坐标系,则A(0,0,1),.E,F,P(,0,0),C(0,1,0).设m=(x,y,z)是平面AEF的法向量,则又∴令x=4,得z=,故m=(4,0,),由(1)知平面ADF的一个法向量为=(-,1,0),设二面角D-AF-E的平面角为θ,可知θ为锐角,cosθ=|cosm,|===,故二面角D-AF-E的余弦值为.例3.(2010天津,19,12分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,CC1上的点,CF=AB=2CE,AB∶AD∶AA1=1∶2∶4.(1)求二面角A1-ED-F的正弦值(1)设平面EFD的法向量u=(x,y,z),则即不妨令x=1,可得u=(1,2,-1).由(Ⅱ)可知,为平面A1ED的一个法向量.于是cosu,==.从而sinu,=.所以二面角A1-ED-F的正弦值为.