光波导理论

光波导理论与技术2012年3月渐变折射率平面波导导模分析介质光波导技术扩散、离子交换等方法制作的光波导，其折射率是渐变的。研究渐变折射率平面波导有实际意义。主要内容：渐变折射率平面波导导模几何光学分析、电磁场分析光波导理论与技术2012年3月理解：n1sin1=n2sin2n1n2，21n2sin2=n3sin3n2n3，32……渐变折射率平面波导几何光学简要分析一、轨迹光线轨迹总是从低折射率向高折射率弯曲。xn1n2n31234Zn(x)A光波导理论与技术2012年3月x2,Bx1,x1x2n(x)xAZx2x1x“拐点”A、B：在A、B点光线切线平行于Z轴。光线在A、B点转向后，朝折射率更高的区域传播。有效深度：上下拐点之间。光波导理论与技术2012年3月轨迹：不同模式，x1、x2不同，拐点位置不同，轨迹不同。导模阶数越高:光线轨迹?离Z轴越远。基模:?在“拐点”A、B之间，光线以曲线形式传输。光线轨迹离Z轴最近。光波导理论与技术2012年3月二、横向谐振条件(特征方程)横向谐振：x2、x1之间的相位变化：dxxhxx)(12h(x)=X方向相位常数（波矢分量）从x2x1下一个x2的相位变化2m。光波导理论与技术2012年3月不同点处的折射率n(x)随x不同，所以，各点处的波矢的大小、方向不同。k(x)=k0n(x)=k(x)sin(x)xh(x)=k(x)cos(x)zx处的波数k(x)=n(x)k0传播常数(x)=kz(x)=n(x)k0sin(x)光波导理论与技术2012年3月X方向波数分量h(x)=kx(x)=n(x)k0cos(x)所以，h(x)=n(x)k0[1-sin2(x)]1/2=[n2(x)k20-2(x)]1/2在拐点处不存在截然全反射，但是可以证明：TE、TM模在拐点的相位移均为/2(落后)。光波导理论与技术2012年3月导模的特征方程mdxxkxnxx222)]()([22/1220212mdxxkxnxx22)]()([2/1220212—对称渐变折射率波导导模特征方程。光波导理论与技术2012年3月渐变折射率波导导模场解设折射率沿X方向渐变，Y方向无穷大，无限制。一、渐变折射率波导的波动方程根据无源各向同性介质中的波动方程222022202)()(1tEEEtHHH光波导理论与技术2012年3月考虑n(x)，仅随x变化，而且，(x)=ro=n2(x)o，可以推得在折射率随x变化的介质中，波动方程0)(])([])()()([)(22022222xEkxndxxdnxnxEdxddxxEdxxx0)(])([)(220222xHkxndxxHdxx光波导理论与技术2012年3月二、抛物型折射率分布波导导模场解折射率分布弱导2122212nnn2121nnnn、121nnnn(x)（下）-ddX)21(2122nn021ndxnndxdxnxn||]21[||])(21[)(21222212光波导理论与技术2012年3月1、TE模0)(])([)(220222xHkxndxxHdxx运用将折射率分布代入0])21([222202122xxHdxkndxHd])(21[)(2212dxnxn光波导理论与技术2012年3月即xxxHknHxddxHd][)2(220212222此方程，类似量子力学的一维线性谐振子能量算符本征方程:)(2)()()()()(21)(2222222222222xExxxdxdxExxxdxd(A)(B’)(B)光波导理论与技术2012年3月（1）方程形式相似（2）求解方程任务相似(B)：求(x)、E(A)：求Hx、（3）(x)、Hx性质相似可见：][22021kn光波导理论与技术2012年3月（4）参数对比22E][22021kn22222d相当于相当于所以，可以利用(B)或(B’)的解，得到(A)解。(均为实数)(均为实数)光波导理论与技术2012年3月其中，n叫量子数，H()叫厄米多项式。)()(2/2nnnHeN)()(222xHeNxnxnn3,2,1,0)21(nnEn2/1]!2[nNnn/x(B)或(B’)解：本征值本征函数或归一化常数设：En只有这样取值，才能保证本征函数解在|x|时，取有限值】光波导理论与技术2012年3月对于抛物型折射率分布波导定义参数：21202222120222)(nkdnnkd)(2212022nkdu22222120222021)(unnknkb设xwdnkdw022/1102022)2(2将(A)与(B)或(B’)对照，通过运算，得到：2122212nnn光波导理论与技术2012年3月的条件下，场解为,......2,1,0122)(2022021mmwkn202/0)2()(wxmxexwCHxH－m阶厄米多项式22)1()(eddeHmmmm在其中，【保证解在|x|时，取有限值】光波导理论与技术2012年3月关于厄米（n阶）多项式微分形式递推公式neddeHnnnn2)1()(!2)(ndHdnnnn)(2)(2)(11nnnnHHH)(2)(1nnnHddH光波导理论与技术2012年3月最低阶的Hn()24)(2)(1)(2210HHH光波导理论与技术2012年3月由模式归一化可以确定C。1)(2dxxHx202/02/14/14/1)2()!2()(wxmmxexwHdmxH导模场解【即为了保证场解在|x|时，取有限值】,......2,1,0122)(2022021mmwkn特征方程光波导理论与技术2012年3月利用定义的常数，特征方程可以写成121)12(2mbmu考虑“临界截止”02kn22222120222021)(unnknkb这时，022u光波导理论与技术2012年3月而特征方程)12(2mu)12(2m所以，这时)12(mC—抛物型折射率分布波导临界截止方程。21202222120222)(nkdnnkd由可以求出m阶导模的截止波长、波导截止厚度。光波导理论与技术2012年3月2、TM模运用设求解(x)的方法与求解TE模类似0)(])([])()()([)(22022222xEkxndxxdnxnxEdxddxxEdxxx)(/)()(xnxxEx光波导理论与技术2012年3月这是强非对称分布。X22n23n21n)(2xn0三、指数型折射率分布波导0)]1(21[0)(21232xenxnxndx2122212nnn光波导理论与技术2012年3月1、TE模【Hx、Ey满足相同的波动方程】运用0)(])([)(220222xEkxndxxEdyy代入折射率：0)(][1)(22222xEeddxxEdydxy式中，令－叫“归一化频率”21202222120222)(nkdnnkd光波导理论与技术2012年3月令做坐标变换：)(2220222nkdwdxe22导模波动方程：这是典型的2w阶Bessel方程，解为J2w()和J-2w()。0)()4()()(22222yyyEwddEdEdx0光波导理论与技术2012年3月J0(x)J1(x)Jn(x)2.4053.831x后者在=0(x)时发散，舍去。要求w为实数，否则，方程无意义。光波导理论与技术2012年3月TE模场：x0)2()(22dxwyeAJxE对于x0，，场解为232)(nxn0)(xBexEqxy20232knq－衰减系数。光波导理论与技术2012年3月利用边界条件，x＝0处，Ey及其导数连续,并且应用Bessel函数的递推公式：)]()([21)(11zJzJzJdzdnnndqBJJABAJBeeAJBeeAJ)]2()2([)2(][])2([][)]2([1212200220022光波导理论与技术2012年3月A、B不全为0，其系数行列式为0，得到TE模的特征方程2/1121212)2()2()2()2(nqJJJ实际波导一般很小，特征方程化简0)2(2wJ由特征方程可以求出w，再用w的定义，可以求出。光波导理论与技术2012年3月利用Bessel函数渐近公式：截止方程m=0,1,2,….根据w的定义：导模：n2kon1ko。(临界)截止，n2ko，即w20所以，(临界)截止特征方程)(2220222nkdw0)2(0J]4cos[2)(0zzzJ0]42cos[)2(2)2(0CCCJ2]42[mC光波导理论与技术2012年3月截止“归一化频率”m=0，1，2…..【不能为负】832mC21202222120222)(nkdnnkd2、TM模波动方程利用TM模分量关系0)(])([])()()([)(22022222xEkxndxxdnxnxEdxddxxEdxxx光波导理论与技术2012年3月的第一式，将Ex的波动方程变成切向量Hy的波动方程。略去、yZxZyxyHixEEiEixHEH0)()()()()(02xExnxExxHxxy)()()(20xnxHxEyx222)(dxxnd2))((dxxdn光波导理论与技术2012年3月0)(])([])()(1[22202xHxnkdxxdHxndxdyyTM模波动方程设Hy(x)=(x)n(x)代入波动方程此方程与TE模的Ey波动方程相同，所以x00)(])([)(2202xkxndxxd)2()()(22dxwyeJxBnxH光波导理论与技术2012年3月对于x0，，场解为232)(nxn0)(xBexEqxy－衰减系数。利用边界条件（x＝0，Hy及其导数连续），可得TM模的特征方程。20232knq光波导理论与技术2012年3月四、1/cosh2型折射率波导导模场解折射率)/2(cosh/2)(23232hxnnnxnxnn3223n)(2xn0h衬底h是波导的厚度；2n3n是最大折射率与衬底折射率的平方差。光波导理论与技术2012年3月若nn3，则应用数学公式1||2/1)1(2/1xxx)/2(cosh/)(23hxnnxn光波导理论与技术2012年3月对于TE模，波动方程0)(])([)(220222xEkxndxxEdyy将n(x)代入，解得TE模场分布)/2(cosh/)/2()(2hxhxUxEsy式中，Us是超几何函数；s是模阶数。低阶超几何函数：光波导理论与技术2012年3月)/2sinh()/2(1)/2(10hxhxUhxU)]/2(sinh)2(321)[/2sinh()/2()/2(sinh)1(21)/2(2322hxShxhxUhxShxU式中，S是从导模方程求解中得到的波导承载的最大导模数**其中，