函数的奇偶性

生活中的对称美新课引入：世博会中国馆故宫太和殿大门我们的校园在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。除了轴对称外，有些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图：它关于什么对称？而我们所学习的函数图像也有类似的对称现象，请看下面的函数图像。观察以下函数图象，从图象对称的角度把这些函数图象分类OxyOxyOxyOxyOxyOxy①②③④⑤⑥2)(xxfxxf)(||)(xxf||1)(xxfxxxf1)(3)(xxf(-a,a2)(a,a2)根据预习案（2）中你画的函数f(x)=x2图象，再观察函数值对应表，你看出了什么？f(1)f(-1)=1=1f(a)f(-a)=a2=a2f(2)f(-2)=4=4猜想:f(-x)____f(x)=…－3－2－10123……9410149…x2yx1.概括猜想，揭示内涵结论：当自变量x在定义域内任取一对相反数时，相应的两个函数值相同；即：f(-x)=f(x)xP(x,f(x))P/(-x,f(x))-xP/(-x,f(-x))f(-x)=f(x)Oxy2.概括猜想，揭示内涵偶函数的定义如果对于函数y=f(x)的定义域A内的任意一个x,都有f(-x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数.偶函数的图象特征以y轴为对称轴的轴对称图形．定义域对应的区间关于坐标原点对称．偶函数图象是以y轴为对称轴的轴对称图形y1-11-1xOy=f(x)(-x，f(-x))(x，f(x))•下列函数为偶函数吗？xy12()(,1]fxxxxy12()1fxxx（）xy1-12()(,1][1,)fxxx偶函数的特征:1.代数特征：f(-x)=f(x)2.图像特征:关于y轴对称2.概括猜想，揭示内涵2(),1,2fxxx0x123-1-2-3123456y思考：观察下面的函数的图象关于y轴对称吗？思维认识提升：如果一个函数的图象关于y轴对称，它的定义域应该有什么特点？3.定义域关于原点对称.例如：对于函数f(x)=x3有f(-1)=(-1)3=-1f(1)=1f(-2)=(-2)3=-8f(2)=8f(-x)=(-x)3=-x3f(-1)=-f(1)f(-2)=-f(2)f(-x)=-f(x)-xx结论:当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值也互为相反数,即f(-x)=-f(x)问题.若函数f(x)为奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)的值能确定吗？2.代数特征：3.图像特征：奇函数的图像关于原点对称f(-x)=-f(x)奇函数的特征:1.f(0)=0函数奇偶性的定义:偶函数定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数.奇函数定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.对于奇、偶函数定义的几点说明:(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：若函数f(x)为奇函数,则f(-x)=－f(x)成立。若函数f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立。（1）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就是说函数f(x)具有奇偶性。判定函数的奇偶性的步骤：1）先求函数的定义域；若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为非奇非偶函数若定义域是关于原点对称的区间，进入第二步；2）计算f(－x)化向f(x)的解析式；若等于f(x)，则函数是偶函数若等于－f(x)，则函数是奇函数若不等于，则函数是非奇非偶函数3）结论。)()(xfxf例.判断下列函数的奇偶性：(4)f(x)＝x3－x2x－1.(1)f(x)=5(2)f(x)=022311fxxx(1)f(x)=(2)f(x)=x2x∈[-4,4)解:∵定义域不关于原点对称或∵f(-4)=(-4)2=16;f(4)在定义域里没有意义.∴f(x)为非奇非偶函数x解:定义域为[0,+∞)∵定义域不关于原点对称∴f(x)为非奇非偶函数思考2：以下两个函数是奇函数吗？是偶函数吗？练习:说出下列函数的奇偶性:①f(x)=x4________③f(x)=x________④f(x)=x-2__________⑤f(x)=x5__________⑥f(x)=x-3_______________②f(x)=x-1__________奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数对于形如f(x)=xn()的函数，在定义域R内:若n为偶数，则它为偶函数。若n为奇数，则它为奇函数。Zn例3.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+x(2)f(x)=3x4+6x2+a解:定义域为R∵f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-(x3+x)即f(-x)=-f(x)∴f(x)为奇函数解:定义域为R∵f(-x)=3(-x)4+6(-x)2+a=3x4+6x2+a即f(-x)=f(x)∴f(x)为偶函数说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:⑴先求出定义域，看定义域是否关于原点对称.⑵再判断f(－x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立.11)()4(1)()3(2xxfxxxf为奇函数即解：定义域是xfxfxfxxxxxfoxx)1(1)(为偶函数即）（解：定义域是xfxfxfxxxfR1111)(22例2.如果定义在区间［3-a，5］上的函数f(x)是偶函数，则a=_______.思考题1、当____时一次函数f(x)=ax+b是奇函数2、当____时二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0）是偶函数3.若函数是偶函数,求m的值.mxxmxf2)2()(2变式1：f(x)为奇函数呢？例2：判断函数f(x)=的奇偶性2|2|12xx解：由题02|2|012xx2211xx4011xxx且－4－101∴函数的定义域为[－1,0)∪(0,1]此时f(x)=2)2(12xxxx21xxxf2)(1)(又xx21=－f(x)故f(x)是奇函数