晶体中电子的运动特征

6.1晶体中电子的运动特征：在我们给出了电子在晶体周期势场中运动的本征态和本征能量之后，就可以开始研究晶体中电子运动的具体问题了，由于周期势场的作用，晶体中的电子的本征能量和本征函数都已不同于自由电子，因而在外场中的行为也完全不同于自由电子，我们称之为Bloch电子。首先分析一下它和自由电子的区别及其一般特征。一.Bloch电子的准经典描述二.波包与电子速度三.电子的准动量四.电子的加速度和有效质量见黄昆书5.1节p237一.Bloch电子的准经典描述：当外加场（电场、磁场等）施加到晶体上时，晶体中的电子不只是感受到外场的作用，而且还同时感受着晶体周期场的作用。通常情况下，外场要比晶体周期势场弱得多。因为晶体周期场强度一般相当于108V/cm。而外电场是难以达到这个强度的。因此，晶体中的电子在外场中的运动必须在周期场本征态的基础上进行讨论。采用的方法有两种：u求解含外场的单电子波动方程。u或者是在一定条件下，把晶体中电子在外场中的运动当作准经典粒子来处理。注解：例如氢原子的基态能（电离能）为13.6eV通常情况下求解含外场的波动方程，但只能近似求解。()222UVEmyy⎡⎤-∇++=⎢⎥⎣⎦hr含外场的波动方程外场较弱且恒定。不考虑电子在不同能带间的跃迁。不考虑电子的衍射、干涉及碰撞。另一种方法是在：等条件下把晶体中电子在外场中的运动当作准经典粒子来处理。这种方法图像清晰，运算简单，我们乐于采用。经典粒子同时具有确定的能量和动量，但服从量子力学运动规律的微观粒子是不可能的，如果一个量子态的经典描述近似成立，则在量子力学中这个态就要用一个“波包”来代表，所谓波包是指该粒子（例如电子）空间分布在r0附近的△r范围内，动量取值在附近的范围内，满足测不准关系。把波包中心r0看作该粒子的位置，把看作该粒子的动量。晶体中的电子，可以用其本征函数Bloch波组成波包，从而当作准经典粒子来处理。0khkΔhrkΔΔ0kh二.波包与电子速度：在晶体中，电子的准经典运动可以用Bloch函数组成的波包描述。由于波包中含有能量不同的本征态，因此，必须用含时间因子的Bloch函数。首先考虑于一维情况。设波包由以k0为中心，在Δk的范围内的波函数组成，并假设Dk很小，可近似认为()()0kkuxux≈不随k而变。对于一确定的k，含时间的Bloch函数为()()(),ikxtkkxteuxwy-=()()/kEkw=h把与k0相邻近的各k’状态叠加起来就可以组成与量子态k0相对应的波包：波包()()()0202,dkkkikxtkkxteuxkwΔΔ+--Ψ=∫()()02002dkkkikxtkkuxekwΔΔ+--≈∫令0kkx=+()00ddkkkwwwx⎛⎞≈+⎜⎟⎝⎠()()()000022d,expddkkikxtkkxtuxeixtkwwxxΔΔ--⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎞Ψ=-⎢⎥⎨⎬⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭∫()()(){}()0000022sinkikxtkkkddkddkxtuxextwww-Δ⎡⎤-⎣⎦=⋅-()()0kkuxux≈为分析波包的运动，只需分析⎢Ψ⎪2，即几率分布即可。()()()()()0002222d2dd2dsin,kkkkkkkxtxtuxkxtwwΔΔ⎧⎫⎡⎤-⎪⎪⎣⎦Ψ=Δ⎨⎬⎡⎤-⎪⎪⎣⎦⎩⎭令0ddkwxtkw⎛⎞=-⎜⎟⎝⎠w2kpΔ2kp-Δ0222sinkkwwΔΔ波函数集中在尺度为的范围内，波包中心为：w＝0。2kpΔ有00d1dddkkExttkkw⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠h若将波包看成一个准粒子，则粒子的速度为()00d1dddkxEvktk⎛⎞==⎜⎟⎝⎠h()()Ekkw=h布里渊区的宽度：2π/a，而假设Dk很小，一般要求即推广到三维情况，电子速度为1E=∇hkvakp2ΔakΔp2注意，这里给出了把Bloch波当作准经典粒子处理的条件。由于Bloch波有色散，一个稳定的波包所包含的波矢范围△k应是一个很小的量。Bloch波有独立物理意义的波矢被限制在第一布里渊区内，因为测不准关系2xxpxkxΔ⋅Δ=Δ⋅Δ≥hhakp2Δxa∴Δ这表明，如果波包的大小比原胞尺寸大得多，晶体中电子的运动就可以用波包的运动规律来描述。对于输运现象，只有当电子平均自由程远大于原胞尺寸的情况下，才可以把晶体中的电子当作准经典粒子，波包移动的速度（群速度）等于处于波包中心处粒子所具有的平均速度。附录：更简明的说明：量子力学告诉我们，晶体中处于状态的电子，在经典近似下，其平均速度相当于以k0为中心的波包速度，而波包的传播速度是群速度：量子力学中的德布罗意关系：所以电子的平均速度：()gkvkw∂=∂Ew=h()1Ekvk∂=∂h0ky考虑到不同能带的电子，晶体中电子速度的一般表述：)(1)(kEknknvhvv∇=u这个公式表达了一个非常重要的事实，那就是：晶体中电子的平均速度只与能量和波矢有关，对时间和空间而言，它是常数，因此平均速度将永远保持不变而不衰减。也就是说可以一直流动下去而不衰减。这意味着：电子不会被静止的原子所散射，严格周期性的晶体电阻率为零。这一点和自由电子论中离子是作为散射中心对电子产生散射而影响电子的平均（漂移）速度的概念完全不同。下一节还将仔细分析这种情况。换句话说：若电子处于一个确定的状态时，只要晶格的周期性不变，则永远处于这个态，因此，只要这种情况不变，则电子将以同样的速度在整个晶体中不断运动，而不被任何晶格所阻碍，即电子速度是一个常数，因为晶格对传播速度的影响，都已经通过能量包括在内了。当然，晶格对周期性的偏离会引起电子的散射，使它的速度发生变化，例如，电子在热振动的晶格中运动，会和声子多次碰撞，对电子的速度产生极大影响；此外，外加电场和磁场也会对电子运动速度带来变化，以后将陆续讨论到这些情况。ky()nEk这个公式还表明：电子速度的方向为k空间中能量梯度的方向，即垂直于等能面。因此，电子的运动方向决定于等能面的形状，在一般情况下，在k空间中，等能面并不是球面，因此，v的方向一般并不是k的方向。下图比较准确地反映了Bloch电子的这一特点。vvv只有当等能面为球面，或在某些特殊方向上，v才与k的方向相同。电子运动速度的大小与k的关系，以一维为例说明在能带底和能带顶，E(k)取极值，d0dEk=因此，在能带底和能带顶，电子速度v＝0。E(k)v(k)而在能带中的某处：电子速度的数值最大，这种情况与自由电子的速度总是随能量的增加而单调上升是完全不同的。22d0dEk=上页图取自黄昆书图5-2，右图表示的更清楚，虚线表示自由电子的速度。这种变化可用NEF模型来解释：在区心处，电子可以用平面波描写，因而速度成线性变化，但随着k值的增加，自由波受晶格散射波的影响越来越大，散射波对入射波的消弱越来越明显，直到布里渊区边界，强的Bragg反射使散射波和入射波相等，所以波速度为零。这个结果和一切幅射波在有周期性的晶体中的传播是一样的。1Evk∂=∂h速度正比与能量曲线斜率22,2**kEvkckmm===hh三.电子的准动量：在外场中，电子所受的力为F，在dt时间内，外场对电子所做的功为F⋅vdt根据功能原理，有dddtEE⋅==∇⋅kFvk1E=∇hkvd0dt⎛⎞-⋅=⎜⎟⎝⎠hkFv在平行于v的方向上，hdk/dt和F的分量相等；当F与速度v垂直时，不能用功能原理来讨论电子能量状态的变化，但是我们仍可以证明在垂直于速度的方向上，hdk/dt和外力F的分量也相等。khddt∴=hkF上式是电子在外场作用下运动状态变化的基本公式，因为hk的性质像是Bloch电子的动量，所以在这个意义上，上式可以简单表述为：动量对时间的变化率等于力，即具有牛顿第二定律相似的形式，称之为加速度定理，是Bloch电子动力学方程之一。准动量不是Bloch电子严格意义上的动量，严格意义上的动量的变化率等于作用在电子上面所有力的和，而准动量的变化率只是外场力作用的结果，这里没有包括晶格势场作用力。在外场存在的电子动力学问题中，晶体动量比真实动量更有用，因为在k空间中去领会运动要比真实空间更容易。是Bloch电子准动量的另一种说明：对于自由电子，k=p/h就是电子的动量。)())((ruiekrueiinkrkinknkrkinkvhvhvhhvvvv∇+=∇=∇⋅⋅yy对于晶体周期场中的电子用Bloch波描述，动量算符作用下：)()(rkeirirkivvhhwhvvyy=∇=∇⋅这表明Bloch波不是动量算符的本征函数。在晶体周期场中，hk是动量概念的扩展，称为准动量或电子晶格动量。kh四.电子的加速度和有效质量晶体中电子运动的准经典模型为，外场用经典方式处理，晶体周期场用能带论的处理，电子位置用Bloch波包的中心位置代替。准经典运动的基本关系式：此外，假定能带指标n是运动常数，即电子总是呆在同一能带中，忽略电子在能带之间的跃迁。d1()()dd(,)()(,)dnknnrkEktkFeErtkBrttuu==∇⎡⎤==-+×⎣⎦vvvvhvvvvvvvvh相当于牛顿第二定律从电子运动的基本关系式可以直接导出在外力作用下电子的加速度。1.一维情况()22222dddd1d1dddddddEkvEkEFattktk⎛⎞==⋅=⋅=⎜⎟⎝⎠hhh引入电子的有效质量：222ddEkm*=h由于周期场的作用，当把加速度在形式上写成仅由外力引起的形式时，外力与加速度之间的关系显然不是由电子的惯性质量所联系的，而必须引入一个有效质量的概念，它计入了周期场的影响。引入有效质量后，电场作用下的电子就像一个自由电子那样运动，给我们处理问题带来极大方便。ddvFemte*=-=有效质量反比于能带的曲率，曲率越大，有效质量越小，反之，有效质量越大。由于周期场中电子的能量E(k)与k的函数关系不是抛物线关系，因此，电子的有效质量不是常数，m*与k有关。在能带底，E(k)取极小值，22d0dEk这时，m*0；在能带顶，E(k)取极大值，22d0dEk所以，m*0。在一个布里渊区内，电子的有效质量是变化的。在特定情况下，当电子能量是k的二次函数时（比如在带底），即：2Eka=（是常数）a2*2ma=hQ222*kEm=h所以，我们可以电子能量写成和自由电子相同的形式：有效质量和能带曲率成反比示意图下图给出近自由电子近似下能带结构和有效质量随k的变化。明显看出带底附近m*是大于零的常数，因为这里的能量是k的二次函数，但随着k的增大，能量波矢之间不再严格是二次函数，所以m*不再是常数，而是k的函数，超过能量曲线拐点，m*变为负值。表明在k空间的这个区域，晶格对电子产生一个很大的阻力，以致压制住外力，并产生一个负的加速度。2.三维情况：上面结果推广到三维，有：dd11ddddEEttt⎛⎞==∇=⋅∇∇⎜⎟⎝⎠hhkkkvka其分量形式为31ddd11dddkvEEattktkkbaababa=⎛⎞⎛⎞∂∂∂===⋅⎜⎟⎜⎟∂∂∂⎝⎠⎝⎠∑hh23211EFkkbbab=∂=⋅∂∂∑ha＝1,2,3矩阵形式22222222222221xxyxzxxyyyxyyzzzzxzyzEEEkkkkkvFEEEvFkkkkkvFEEEkkkkk⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎛⎞⎛⎞⎢⎥∂∂∂⎜⎟⎜⎟⎢⎥=⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦&&h&与牛顿定律1m=&vF相比可知，现在是用一个二阶张量代替了1m222222222222211xxyxzyxyyzzxzyzEEEkkkkkEEEmkkkkkEEEkkkkk*⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎡⎤⎢⎥=⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦h称为倒有效质量张量。由于微商可以交换顺序，倒有效质量张量是一个对称张量。同时，晶体的点群对称性也会使张量的独立分量减少，对于各向同性晶体，它退化为一个标量。由于倒有效质量张量是对称张量，如将kx、ky、kz取为张量的主轴方向，就可将其对角化。222222210000111000