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泛函分析小论文论文题目:赋范线性空间中的强收敛、弱收敛和一致收敛专业:数学科学学院年级:12级姓名:乌日罕学号:20122103126任课教师:韩刚赋范线性空间中的强收敛、弱收敛和一致收敛摘要:对赋范线性空间中的强收敛、弱收敛和一致收敛进行初步的认识。首先引进了强收敛、弱收敛和一致收敛的定义、概念,其次讨论了一些相关的例题,最后,给出并证明了定理(强收敛充要条件)。关键词:强收敛;弱收敛;一致收敛;赋范线性空间一、有关定义、相关的例题及其解析定义1设𝑋是赋范线性空间,𝑥𝑛∈𝑋,𝑛=1,2,…,如果∃𝑥∈𝑋,s.t.‖𝑥𝑛−𝑥‖→0(𝑛→∞),则称点列{𝑥𝑛}强收敛于𝑥,如果对∀𝑓∈𝑋′,都有𝑓(𝑥𝑛)→𝑓(𝑥)(𝑛→∞),则称点列{𝑥𝑛}弱收敛于𝑥,记为𝑥𝑛弱→𝑥(𝑛→∞).※在此注意的是,𝑥𝑛→𝑥(𝑛→∞)⇒𝑥𝑛弱→𝑥,反之不然。显然强收敛必定弱收敛,但弱收敛不一定强收敛。例1(弱收敛≠强收敛)设𝑋=𝑙2,𝑒𝑛=(0,0,…,0,1,0,…),𝑛=1,2,…,则‖𝑒𝑛‖=1,故{𝑒𝑛}不强收敛于0.下证{𝑒𝑛}弱收敛于0,对∀𝑓∈(𝑙2)∗=𝑙2,即𝑓=(𝜂1,𝜂2,…)∈𝑙2⇔∑|𝜂𝑖|2∞𝑖=1+∞.𝑓(𝑒𝑛)=𝜂𝑛→0(𝑛→∞)(∴|𝑓(𝑒𝑛)−0|→0(𝑛→∞)∴𝑓(𝑒𝑛)弱→0(𝑛→∞))定义2设𝑋是赋范线性空间,𝑋′是𝑋的共轭空间,泛函列𝑓𝑛∈𝑋′(𝑛=1,2,…),如果∃𝑓∈𝑋′,s.t.(1)‖𝑓𝑛−𝑓‖→0(𝑛→∞),则称{𝑓𝑛}强收敛于𝑓;(2)对∀𝑥∈𝑋,都有|𝑓(𝑥𝑛)−𝑓(𝑥)|→0(𝑛→∞),则称{𝑓𝑛}弱*收敛于𝑓;(3)若对∀𝐹∈(𝑋′)′,都有𝐹(𝑓𝑛)→𝐹(𝑥)(𝑛→∞),则称{𝑓𝑛}弱收敛于𝑓.※在此注意的是,1.弱*收敛与弱收敛一般是不同的,但若𝑥是自反的(𝑥∗∗=𝑥,(𝑙2)∗=𝑙2,(𝑅𝑛)∗=𝑅𝑛)则泛函列{𝑓𝑛}的弱*收敛与弱收敛等价。2.𝑓𝑛强→𝑓⇒𝑓𝑛𝑤→𝑓⇒𝑓𝑛𝑤∗→𝑓,反之不然;3.唯一性:𝑓𝑛𝑤→𝑓,𝑓𝑛𝑤∗→𝑔,则𝑓=𝑔.定义3设𝑋,𝑌是两个赋范线性空间,𝑇𝑛∈𝐵(𝑋→𝑌),𝑛=1,2,…,若∃𝑇𝑛∈𝐵(𝑋→𝑌),𝑠.𝑡.(1)‖𝑇𝑛−𝑇‖→0(𝑛→∞),则称{𝑇𝑛}一致收敛于𝑇;(2)对∀𝑥∈𝑋,‖𝑇𝑛𝑥−𝑇𝑥‖→0(𝑛→∞),则称{𝑇𝑛}强收敛于𝑇;(3)对∀𝑥∈𝑋和∀𝑓∈𝑌′,𝑓(𝑇𝑛𝑥)→𝑓(𝑇𝑥)(𝑛→∞),则称{𝑇𝑛}弱收敛于𝑇.※在此注意的是,1.一致收敛⇒强收敛⇒弱收敛,反之不然;|𝑓(𝑇𝑛𝑥)−𝑓(𝑇𝑥)|=|𝑓(𝑇𝑛𝑥−𝑇𝑥)|≤‖𝑓‖‖𝑇𝑛𝑥−𝑇𝑥‖≤‖𝑓‖‖𝑇𝑛−𝑇‖‖𝑥‖2.强收敛⇏一致收敛3.弱收敛⇏强收敛二、定理设𝑋,𝑌是𝐵𝐾𝐽,{𝑇𝑛}∈𝐵(𝑋→𝑌),则{𝑇𝑛}强收敛的充要条件是(1){‖𝑇𝑛‖}有界;(2)∀𝐷稠⊂𝑋,𝑥∈𝐷,{𝑇𝑛𝑥}都收敛。证明:“⟹”∵{𝑇𝑛}强收敛,{𝑇𝑛𝑥}都收敛,∴∀𝑥∈𝑋,‖𝑇𝑛𝑥−𝑇𝑥‖→0(𝑛→∞),显然(2)成立;又∵{𝑇𝑛𝑥}收敛,∴{‖𝑇𝑛𝑥‖}有界且X是𝐵𝐾𝐽,∴由共鸣定理知,{‖𝑇𝑛‖}有界;“⟸”设‖𝑇𝑛‖≤M,𝑛=1,2,…,又∵𝑋⊂𝐷̅,∀𝑥∈𝑋,∀𝜀0,∃𝑧∈𝐷,𝑠.𝑡.‖𝑥−𝑧‖𝜀.又∵{𝑇𝑛𝑧}收敛,∴∃𝑁,当𝑛𝑁时,∀𝑝∈𝑍+,‖𝑇𝑛+𝑝𝑧−𝑇𝑛𝑧‖𝜀.∴‖𝑇𝑛+𝑝𝑥−𝑇𝑥‖≤‖𝑇𝑛+𝑝𝑥−𝑇𝑛+𝑝𝑧‖+‖𝑇𝑛+𝑝𝑧−𝑇𝑛𝑧‖+‖𝑇𝑛𝑧−𝑇𝑛𝑥‖≤‖𝑇𝑛+𝑝‖‖𝑥−𝑧‖+𝜀+‖𝑇𝑛‖‖𝑧−𝑥‖2𝑀𝜀+𝜀.将上述定理用于泛函的情形,则可知𝑋上任何一列{𝑓𝑛},如果弱*收敛,必定有界,反之有界{𝑓𝑛}若在𝑋的一个稠密子集上收敛,则必弱*收敛。参考文献:[1]程其襄,张奠宙等.实变函数与泛函分析基础(第三版)[].高等教育出版社,2010,6.
本文标题:强收敛、弱收敛和一致收敛
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