线性相位FIR数字滤波器

数字信号处理byZaiyueYangmypage.zju.edu.cn/yangzyCSE,ZJU,2016第4章数字滤波器的结构4.1引言4.2用信号流图表示网络结构4.3IIR系统的基本网络结构4.4FIR系统的基本网络结构4.5FIR系统的线性相位结构4.6FIR系统的频率采样结构4.7数字信号处理中的量化效应2数字滤波器的设计与实现（1）确定性能指标（2）求系统函数H(z)（3）确定运算结构（4）确定实现方法已知寻求本章内容4.1引言关键点：同一个H(z)可以写成不同形式，因此可以由不同结构来实现。3一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行描述。如果系统输入输出服从N阶差分方程0101()()()()()()1MNiiiiMiiiNiiiynbxniaynibzYzHzXzaz其系统函数H(z)为给定一个差分方程，不同的算法有很多种，例如：1122113111()10.80.151.52.5()10.310.511()10.310.5HzzzHzzzHzzz不同算法直接影响系统运算误差、运算速度以及系统复杂程度和成本5加法器乘法器单位延时基本运算单元方框图流图基本运算单元的方框图及流图表示4.2用信号流图表示网络结构6流图结构•节点–源节点•支路–输出节点–网络节点•分支节点–输入支路•相加器节点的值=所有输入支路的值之和–输出支路支路的值=支路起点处的节点值×传输系数7流图的化简（1）并联支路abxyyaxbxbaxy()abxabxyybubaxyuabxyuaxcybcab1xycuxbcaby1（2）串联支路()bax()abxybu()baxcy（3）反馈支路8例：122221221211202()(1)()(1)()()()()()()()nnnnnxnananynbnbnbn(4.2.1)图4.2.2信号流图(a)基本信号流图；(b)非基本信号流图可得120121212()()()1bbzbzYzHzXzazaz9基本信号流图(1)信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益是常数或者是z-1；(2)流图环路中必须存在延时支路；(3)节点和支路的数目是有限的。10FIR：无反馈支路差分方程，0()()Miiynbxni单位脉冲响应h(n)有限长，,0()0,othernbnMhnnFIR网络v.s.IIR网络IIR：有反馈支路差分方程，例如：单位脉冲响应h(n)无限长，例如：()(1)()ynaynxn()()nhnaun114.3IIR系统的基本网络结构1.直接型N阶差分方程：系统函数：01()()()MNiiiiynbxniayniIIR的三种结构：直接型、级联型、并联型01201200()()()11(),()1MiiiNiiiMiiNiiiibzHzHzHzazHzbzHzaz12图4.3.1IIR网络直接型结构b0b1b2z－1z－1z－1z－1a1a2x(n)x(n－1)x(n－2)y(n)y(n－1)y(n－2)x(n)y(n)b0b1b2z－1z－1z－1z－1a1a2w2w1H1(z)H2(z)H2(z)H1(z)x(n)y(n)a1a2b0b1b2z－1z－1（a）（b）（c）1!!!1!!!01()()()MiiNiiynbxniayni13例4.3.1IIR数字滤波器的系统函数H(z)为12312384112()5311448zzzHzzzz画出该滤波器的直接型结构。解：由H(z)写出差分方程531()(1)(2)(3)8()4(1)44811(2)2(3)ynynynynxnxnxnxn14图4.3.2例4.3.1图x(n)y(n)z－1z－1z－1－4811－245438115直接型特点（1）简单直观,运算速度快,要求的内存少；（2）不能直接调整滤波器系统函数的零、极点；（3）系数的有限字长效应对零、极点位置的影响很大，甚至可能使原设计稳定的滤波器变为不稳定的。∴直接型结构多用于低阶（2~3阶）滤波器。162.级联型将H(z)的分子、分母多项式分别因式分解1111(1)()(1)MrrNrrCzHzAdz(4.3.1)Cr、dr为零、极点。由于它们是实数或共轭成对复数，因此上式可写作：1201212112()(),()1kjjjjjjjjzzHzHzHzazaz(4.3.2)其中，β0j、β1j、β2j、α1j和α2j均为实数。17图4.3.3一阶和二阶直接型网络结构(a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构x(n)y(n)z－1x(n)y(n)z－1z－1(a)(b)j0j1j2j0j1j2j1j1j0Hj(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，可由直接型网络结构表示：结论：Hj(z)网络级联构成H(z)网络。18例4.3.2设系统函数H(z)如下式：12312384112()11.250.750.125zzzHzzzz试画出其级联型网络结构。解：将H(z)分子分母进行因式分解，得到112112(20.379)(41.245.264)()(10.25)(10.5)zzzHzzzzx(n)z－12y(n)z－14z－1－0.3790.25－1.245.264－0.5图4.3.4例4.3.2图19级联型特点（1）每个一阶网络决定一个零点、一个极点，每个二阶网络决定一对零点、一对极点；（2）能直接调整滤波器系统函数的零、极点；（3）信号不会回流，运算误差的积累比直接型小；20Hi(z)为一阶或二阶网络，1()()kiiHzHz(4.3.4)1011212()1iiiiizHzazazβ0i、β1i、α1i和α2i为实数。3.并联型将H(z)展成部分分式形式结论：Hi(z)网络并联构成H(z)网络。21例4.3.3画出例题4.3.2中的H(z)的并联型结构。解：将H(z)展成部分分式形式：111281620()1610.510.5zHzzzz将每部分用直接型结构实现，然后并联。x(n)y(n)z－1z－11680.520－16－0.520z－1图4.3.5例4.3.3图22并联型特点：（1）可以直接控制极点；（2）各二阶节的误差互不影响，故误差一般比级联型稍小；（3）有限字长效应的影响小；（4）零点不能独立地调节（二阶节的零点并不一定是系统的零点）；（5）系数较多→乘法次数多。234.4FIR系统的基本网络结构FIR网络结构特点是没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函数H(z)和差分方程为1010()()()()()NnnNmHzhnzynhmxnm241.直接型按照H(z)或者差分方程直接画出结构图如图4.4.1所示。这种结构称为直接型网络结构或者称为卷积型结构。图4.4.1FIR直接型网络结构x(n)y(n)z－1z－1z－1h(0)h(1)h(2)h(N－2)h(N－1)252.级联型将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。例4.4.1设FIR网络系统函数H(z)如下式：H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3画出H(z)的直接型结构和级联型结构。26解：将H(z)进行因式分解，得到：H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)其直接型结构和级联型结构如图所示。图4.4.2例4.4.1图z－1z－1z－1x(n)0.60.51.623y(n)y(n)x(n)z－1z－1z－10.9622.81.5(a)(b)特点比较：（1）级联型的每个基本节控制一对零点，便于控制滤波器的传输零点（2）系数比直接型多，所需的乘法运算多274.5线性相位FIR数字滤波器考虑长度为N的h(n)，系统函数为：1()0()()()NjjnjgnHehneHe什么是线性相位FIR？10()()NnnHzhnz频率响应函数为：jzeHg(ω)称为幅度特性，θ(ω)称为相位特性。注意，Hg(ω)不同于|H(ejω)|，Hg(ω)为ω的实函数，可能取负值，而|H(ejω)|总是正值。(4.5.1)(4.5.2)28H(ejω)线性相位是指：θ(ω)是ω的线性函数，即τ为常数(4.5.3)或θ(ω)满足下式：,θ0是起始相位(4.5.4)严格地说，(4.5.4)中θ(ω)不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即()dd0第一类线性相位第二类线性相位2930第一类线性相位：•h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称，即线性相位条件：()(1)hnhNn第二类线性相位：•h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称，即()(1)hnhNn注意：充分条件(4.5.5)(4.5.6)31第一类线性相位条件证明：1010()()()(1)NnnNnnHzhnzHzhNnz令m=N-n-111(1)(1)00(1)1()()()()()NNNmNmmmNHzhmzzhmzHzzHz()(1)hnhNn321(1)1(1)01111()222011()[()()]()[]221()[[]]2NNnNnnNNNNnnnHzHzzHzhnzzzzhnzzz=ejω11()20101()()cos[()]211()()cos[()],()(1)22NNjjnNgnNHeehnnNHhnnN010,(1)2N33110011(1)(1)00(1)1()()(1)()()()()()NNnnnnNNNmNmnnNHzhnzhNnzHzhmzzhmzHzzHz令m=N-n-11(1)1(1)01111222011()[()()]()[]221()[]2NNnNnnNNNNnnnHzHzzHzhnzzzzhnzz第二类线性相位条件证明：34112011220()()1()sin[()]21()sin[()]2jjzeNNjnNNjjnHeHzNjehnnNehnn1011()()sin[()],()()222NgnNNHhnn01,(1)22N35幅度特性Hg(ω)的特点Case1：第一类线性相位、N为奇数101()()cos[()]2NgnNHhnn(3)/2011()()2()cos[()]22NgnNNHhhnnh(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称，可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并，由于N是奇数，故余下中间项n=(N-1)/236•cosω(n-τ)对ω=0,π,2π皆为偶对称•因此Hg(ω)也对ω=0,π,2π是偶对称的。•可以实现各种（低通、高通、带通、带阻）滤波器10()()2()cos[()]MgnHhhnn11,22NNM37幅度特性