数值分析试题101

中国石油大学（北京）2009--2010学年第一学期研究生期末考试试题A(闭卷考试)课程名称：数值分析题号一二三四五六总分得分注：计算题取小数点后四位一、填空题（共30分，每空3分）1、已知x=0.004532是由准确数a经四舍五入得到的近似值，则x的绝对误差界为_______________。2、数值微分公式()()'()iiifxhfxfxh的截断误差为。3、已知向量(1,3)Tx，求Householder变换阵H，使(2,0)THx。H。4、利用三点高斯求积公式11()0.5556(0.7746)0.8889(0)0.5556(0.7746)fxdxfff导出求积分40()fxdx的三点高斯求积公式。5、42()523,[0.1,0.2,0.3,0.4,0.5]_____.fxxxf若则6、以n+1个互异节点xk(k=0,1,…,n),（n1）为插值节点的Lagrange插值基函数为lk(x)(k=0,1,…,n)，则0(0)(1)__________.nkkklx7、已知3()Px是用极小化插值法得到的cosx在[0,4]上的三次插值多项式，则3()Px的截断误差上界为3()cos()RxxPx_________.8、已知向量(3,2,5)Tx，求Gauss变换阵L，使(3,0,0)TLx。L_________.9、设32()(7)fxx,给出求方程()0fx根的二阶收敛的迭代格式_________。所有试题答案写在答题纸上，答案写在试卷上无效10、下面M文件是用来求解什么数学问题的？________________________.function[x,k]=dd（x0）fork=1:1000x=cos(x0);ifabs(x-x0)0.00001,breakendx0=x;end二、（15分）已知矛盾方程组Ax=b，其中11120,1211Ab，（1）用施密特正交化方法求矩阵A的正交分解，即A=QR。（2）用此正交分解求矛盾方程组Ax=b的最小二乘解。三、（10分）已知求解线性方程组Ax=b的分量迭代格式1(1)(1)()1+1/,121,,inkkkiiijjijjiijjixbaxaxainn（），，（1）试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵；（2）若11aAa，推导上述迭代格式收敛的充分必要条件。四、（15分）（1）证明对任何初值0xR，由迭代公式111sin,0,1,2,...2kkxxk所产生的序列0kkx都收敛于方程11sin2xx的根。（2）迭代公式1121sin,0,1,2,...2kkkxxxk是否收敛。五、（15分）用最小二乘法确定一条经过原点(0,0)的二次曲线，使之拟合下列数据-2-11230.813.4iixy并求平方误差22。六、（15分）（1）写出以0，1，2为插值节点的二次Lagrange插值多项式2()Px；（2）以0，1，2为求积节点，建立求积分30()Ifxdx的一个插值型求积公式，并推导此求积公式的截断误差。中国石油大学（北京）2009--2010学年第一学期研究生期末考试试题标准答案A(闭卷考试)课程名称：数值分析题号一二三四五六总分得分一、（30分）1、61102；2、()Oh；3、131231H；4、40()1.1112(0.4508)1.7778(2)1.1112(3.5492)fxdxfff；5、5；6、1；7、112；8、10021035013L；9、32152(7)26(7)kkkkkxxxxx10、用简单迭代法1cos()kkxx求方程cos()xx的根。二、（15分）（1）1211122211212211212(1,2,2),(1,0,1)1(1,2,2),(1,2,2)311(,)(2,-2,1),=(2,-2,1)3331131200121TTTTTTuuvuvuuuvuuAQR，（10分）5/341(2),,1/393TTRxQbx（5分）三、（10分）(1)1(1)()(+1)1+1,,1,,2,1inkkkiiiiijjijjjjiaxbaxaxinn(1)(1)()(1)()(1)1()1)()()()kkkkkkkDxbLxUxDLxUxbxDLUxDLb(1)()11112221111211,()()000,00000kknnnnnnnnxBxgBDLUgDLbaaaDLaaaaaUa迭代矩阵右端向量其迭代法的矩阵形式中(6分)112100(2)()10010001000aBDLUaaaaa迭代矩阵22(),()1,101BaBaa迭代格式收敛的充分必要条件是即(4分)四、（15分）（1）记1()1sin2xx，则1'()cos2xx。先考虑区间[0.5，1.5]，当[0.5,1.5]x时，1()1sin[0.5,1.5]2xx，11'()cos122xx。故对任意初值[0.5,1.5]x，由迭代公式111sin,0,1,2,...2kkxxk产生的序列0kkx都收敛于方程11sin2xx的根。(9分)对任意初值0xR，有1011sin[0.5,1.5]2xx，将此1x看成新的迭代初值，则由（1）可知，由迭代公式111sin,0,1,2,...2kkxxk产生的序列0kkx都收敛于方程11sin2xx的根。(3分)（2）记1()21sin2xxx，则1'()2cos2xx，对任意xR，有'()1.5x所以迭代公式1121sin,0,1,2,...2kkkxxxk不收敛。(3分)五、（15分）212122(),()-243-110.8,,,111243.40.110010.1,=27.403427.40.805934()0.1+0.8059xxxxYaabbsxxx（10分）2212(,)(,)(,)22.20.10.805927.40.01882YYaYbY（5分）六、（15分）（1）2(1)(2)(0)(2)(1)(0)()(0)(1)(2)(01)(02)(10)(12)(21)(20)xxxxxxPxfff（5分）（2）33210039()()(0)(2)=44IfxdxPxdxffI（5分）34319()=32442.fxx取，代入求积公式，左边右边代数精度为构造一个二次插值多项式p2(x)满足下列条件222(0)(0),(2)(2),'(2)'(2)pfpfpf(3)2(3)2()23!333()23!000()()(2),()()(2)fffxpxxxabfxdxpxdxxxdx因为p2(x)为二次多项式，所以322203939()(0)(2)(0)(2)4444pxdxppff(3)3210(3)(3)32(3)0()(2)3!()()93(2)()3!3!48fIIxxdxffxxdxf（5分）