4-用向量讨论垂直与平行

用向量讨论垂直与平行用向量讨论垂直关系与平行关系设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面π1，π2的法向量分别为n1，n2.(1)线线垂直：l⊥m⇔⇔.(2)线面垂直：l⊥π1⇔⇔．(3)面面垂直：π1⊥π2⇔⇔.(4)线线平行：l∥m⇔⇔．(5)线面平行：l∥π1⇔⇔.(6)面面平行：π1∥π2⇔⇔.a·b＝0a⊥ba∥n1a＝λn1(λ∈R)n1⊥n2n1·n2＝0n1∥n2a＝λb(λ∈R)a⊥n1S·n1＝0n1∥n2n1＝λn2(λ∈R)平面的法向量的求法如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)求面A1BC1的一个法向量．(2)若M为CD的中点，求面AMD1的一个法向量．【自主解答】以A为坐标原点，分别以AB→，AD→，AA1→所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为a.(1)∵B1D⊥BC1，B1D⊥A1B，BC1∩A1B＝B，∴B1D⊥面A1BC1，又∵B1D→＝(0,a,0)-(a,0，a)＝(-a,a,-a)，∴n2＝1aB1D→＝(-1,1,-1)为面A1BC1的一个法向量．(2)M为CD中点，求面AMD1的一个法向量．解：设n＝(x0，y0，z0)为面AMD1的法向量，∵AM→＝(a2，a,0)，AD1→＝(0，a，a)，∴n·AM→＝x0，y0，z0·a2，a，0＝a2x0＋ay0＝0，n·AD1→＝x0，y0，z0·0，a，a＝ay0＋az0＝0.令x0＝2，则y0＝－1，z0＝1，∴n＝(2，－1,1)为面AMD1的一个法向量．求一个平面的法向量，主要有以下两种方法：1．找该平面的垂线，以该垂线的方向向量为该平面的法向量．2．对于一般位置状态的平面，采用以下步骤求法向量．已知平面α经过点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，试求平面α的一个法向量．【解】∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，∴AB→＝(1，－2，－4)，AC→＝(2，－4，－3)．设平面α的一个法向量是n＝(x，y，z)，依题意，应用n·AB→＝0且n·AC→＝0，即x－2y－4z＝0，2x－4y－3z＝0，解得z＝0且x＝2y，令y＝1，则x＝2.∴平面α的一个法向量是n＝(2,1,0).用向量证明垂直问题如图2－4－2所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C.图2－4－2【思路探究】要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n1，n2，证明n1·n2＝0.【自主解答】由题意得AB,BC,B1B两两垂直,AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点．以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如题图所示的空间直角坐标系．A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E(0,0，12)，则AA1→＝(0,0,1)，AC→＝(－2,2,0)，AC1→＝(－2,2,1)，AE→＝(－2,0，12)．设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．则n1·AA1→＝0，n1·AC→＝0⇒z1＝0，－2x1＋2y1＝0.令x1＝1，得y1＝1.∴n1＝(1,1,0)．设平面AEC1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)则n2·AC1→＝0，n2·AE→＝0⇒－2x2＋2y2＋z2＝0，－2x2＋12z2＝0，令z2＝4,得x2＝1,y2＝-1.∴n2＝(1,-1,4)．∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0.∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.【证明】建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则有A(2,0,0)，B1(2,2,2)，C(0,2,0)，E(2,2,1)，F(1,1,2)．∴EF→＝(-1，-1,1)，AB1→＝(0,2,2)，AC→＝(-2,2,0)．设平面B1AC的一个法向量为n＝(x，y，z)．由n·AB1→＝0，n·AC→＝0，∴2y＋2z＝0，－2x＋2y＝0.令x＝1，可得：y＝1，z＝-1，∴n＝(1,1,-1)＝-EF→，∴n∥EF→，∴EF⊥平面B1AC.在正方体AC1中，O，M分别为DB1，D1C1的中点，证明：OM∥BC1.【证明】如图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则O(1,1,1)，M(0,1,2)，B(2,2,0)，C1(0,2,2)，OM→＝(－1,0,1)，BC1→＝(－2,0,2)，∴OM→＝12BC1→，∴OM→∥BC1→，∴OM∥BC1.1．证明线面平行常用的方法：(1)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面；(2)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．2．证明面面平行常用的方法：(1)利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面；(2)证明两个平面的法向量平行．1．已知非零向量a，b，c分别为直线a，b，c的方向向量，且a＝λb(λ≠0)，b·c＝0，则a与c的位置关系是()A．垂直B．平行C．相交D．异面【解析】由a＝λb(λ≠0)，知a∥b，由b·c＝0，知b⊥c，故选A.【答案】A2．若OA→＝(1,2,3)，OB→＝(－1,3,4)，则以下向量中能成为平面OAB的法向量的是()A．(1,7,5)B．(1，－7,5)C．(－1，－7,5)D．(1，－7，－5)【解析】经检验，只有向量(－1，－7,5)分别与OA→、OB→垂直，故选C.【答案】C3．已知直线l的一个方向向量为u＝(4,1，－2)，平面α的一个法向量为v＝(1,0,2)，则l与α的位置关系是________．【解析】∵u·v＝4×1＋1×0＋(－2)×2＝0，∴u⊥v，∴lα或l∥α.【答案】平行或在平面内已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点，(1)求证：A1E⊥BD；(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．【解】以DA，DC，DD1所在直线为x轴,Y轴,z轴,建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a.则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，D(0,0,0)．(1)证明：设E(0，a，z)，则A1E→＝(－a，a，z－a)，BD→＝(－a，－a,0)，∴A1E→·BD→＝a2－a2＋(z－a)×0＝0，∴A1E→⊥BD→，即A1E⊥BD．(2)E为CC1的中点．证明如下：由E为CC1的中点得E(0，a，a2)，设BD的中点为O，则O(a2，a2，0)，OE→＝(－a2，a2，a2)，OA1→＝(a2，－a2，a)，BD→＝(－a，－a,0)，则OE→·BD→＝0，OA1→·BD→＝0.∴OE→⊥BD→，OA1→⊥BD→，∴∠A1OE为二面角A1－BD－E的平面角，由OA1→·OE→＝0，则∠A1OE＝90°，∴平面A1BD⊥平面EBD．∴当E为CC1的中点时，能使平面A1BD⊥平面EBD．作业：P411、2、3P423、4