厦门大学线性代数期末试题及答案

第1页，共6页厦门大学2011年度（线性代数）期末考试试卷一、填空题（每小题2分，共20分）1.如果行列式2333231232221131211aaaaaaaaa，则333231232221131211222222222aaaaaaaaa。2.设2326219321862131D，则42322212AAAA。3.设1,,4321,0121AEABCCB则且有=。4.设齐次线性方程组000111111321xxxaaa的基础解系含有2个解向量，则a。5.A、B均为5阶矩阵，2,21BA，则1ABT。6.设T)1,2,1(,设TA，则6A。7.设A为n阶可逆矩阵，*A为A的伴随矩阵，若是矩阵A的一个特征值，则*A的一个特征值可表示为。8.若31212322212232xxxtxxxxf为正定二次型，则t的范围是。9.设向量TT)1,2,2,1(,)2,3,1,2(，则与的夹角。10.若3阶矩阵A的特征值分别为1，2，3，则EA。第2页，共6页二、单项选择（每小题2分，共10分）1.若齐次线性方程组000321321321xxxxxxxxx有非零解,则（）A.1或2B.－1或－2C.1或－2D.－1或2.2.已知4阶矩阵A的第三列的元素依次为2,2,3,1，它们的余子式的值分别为1,1,2,3，则A（）A.5B.-5C.-3D.33.设A、B均为n阶矩阵，满足OAB，则必有（）A.0BAB.））BrAr((C.OA或OBD.0A或0B4.设21β,β是非齐次线性方程组bXA的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是（）A．B．212351C．21221D．215.若二次型32312123222166255xxxxxxkxxxf的秩为2，则k（）A.1B.2C.3D.4三、计算题(每题9分，共63分)1.计算n阶行列式abbbabbbaDn第3页，共6页2.设BA,均为3阶矩阵，且满足BAEAB2，若矩阵101020101A，求矩阵B。3.已知向量组769,103,321321和01,12,110321ba；已知3可以由321,,线性表示,且321,,与321,,具有相同的秩,求a,b的值。第4页，共6页4.已知向量组0221,8451,6352,2130,421154321（1）求向量组54321,,,,的秩以及它的一个极大线性无关组；（2）将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。第5页，共6页5.已知线性方程组axxxxxxxxxxxx4321432143219105363132（1）a为何值时方程组有解？（2）当方程组有解时求出它的全部解（用解的结构表示）.6.设矩阵2001,1141DP，矩阵A由关系式DAPP1确定，试求5A第6页，共6页7.将二次型3231212322213214222),,(xxxxxxxxxxxxf化为标准形，并写出相应的可逆线性变换。四、证明题（7分）已知3阶矩阵OB，且矩阵B的列向量都是下列齐次线性方程组的解030202321321321xxxxxxxxx，（1）求的值；（2）证明：0B。2005-2006学年第一学期线性代数统考试卷参考答案与评分标准第1页，共3页参考答案与评分标准一.填空题1．-16；2.0；3.21107；4.1；5.-4；6.1212421216655A；7.1A；8.3535t；9.2；10.24。二.单项选择：1.C；2.A；3.D；4.B；5.C.三.计算题：1.abbabbbnaabbbabbbaDn111])1([4分1)]()1([00001])1([nbabnabababbbna9分2.BAEAB2EABAB2))(()(EAEABEA3分因为001010100EA显然可逆6分则201030102101020101EEAB9分3.,3/3/521000126093101713602931bbbb3分即5b，且2),,(321r5分那么2),,(321r，则6分0150130121501301210111210aaba，即15a9分2005-2006学年第一学期线性代数统考试卷参考答案与评分标准第2页，共3页4.0000010000021100120144220021101633011201086242431225531112014分3),,,,(54321r5分其极大线性无关组可以取为521,,7分且：521302，5214029分5.5000011210040011612602242013211910513163113211aaa当5a时，线性方程组有解4分即43241214xxxxx，特解为00100，6分其导出组的一般解为4324124xxxxx，基础解系为1014,0120218分原线性方程组的通解为2122110,(kkkk为任意常数）9分6.由DAPP1，得1PDPA2分155PPDA4分1141313200111411141312001114157分1211444311413211281319分7.fxxxxxxxxxxxx(,,)1231222321213232224=xxxxxxxxx12123232222322()()2分=()()xxxxxx1232232324分令yxxxyxxyx1123223336分2005-2006学年第一学期线性代数统考试卷参考答案与评分标准第3页，共3页即作线性变换xyyxyyxy112223338分可将二次型化成标准形fyyy1222329分四.证明题：因为OB，所以齐次线性方程组有非零解，故其方程组的系数行列式0511312121，所以03分（2）000250121113012121A，2)(Ar，因此齐次线性方程组的基础解系所含解的个数为3-2=1，故1)(Br，因而0B。7分