MATLAB在复变函数中的应用

Matlab在复变函数中应用数学实验（一）华中科技大学数学系二○○一年十月1MATLAB在复变函数中的应用复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸，但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，且在引入了Taylor级数展开Laplace变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要了。使用MATLAB来进行复变函数的各种运算；介绍留数的概念及MAT–LAB的实现；介绍在复变函数中有重要应用的Taylor展开（Laurent展开Laplace变换和Fourier变换）。1复数和复矩阵的生成在MATLAB中，复数单位为)1(sqrtji，其值在工作空间中都显示为i0000.10。1.1复数的生成复数可由ibaz语句生成，也可简写成biaz。另一种生成复数的语句是)exp(thetairz，也可简写成)exp(ithetarz，其中theta为复数辐角的弧度值，r为复数的模。1.2创建复矩阵创建复矩阵的方法有两种。（1）如同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵例如：)]33exp(23),6exp(9,32,53[iiiiA（2）可将实、虚矩阵分开创建，再写成和的形式例如：)2,3(randre；)2,3(randim；2imirecom]5466.07271.05681.02897.07027.05341.08385.03420.03704.03412.03093.06602.0[iiiiiicom注意实、虚矩阵应大小相同。2复数的运算1．复数的实部和虚部复数的实部和虚部的提取可由函数real和imag实现。调用形式)(xreal返回复数x的实部)(ximag返回复数x的虚部2．共轭复数复数的共轭可由函数conj实现。调用形式)(xconj返回复数x的共轭复数3．复数的模和辐角复数的模和辐角的求解由功能函数abs和angle实现。调用形式)(xabs复数x的模)(xangle复数x的辐角例：求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角（1）i231（2）iii131（3）iii2)52)(43(（4）iii2184由MATLAB输入如下：3]21^48^,2/)52()43(),1/(3/1),23/(1[iiiiiiiiiiaaiiii0000.30000.10000.135000.35000.25000.11538.02308.0)(areal%实部ans0.23081.5000–3.50001.0000)(aimag%虚部ans–0.1538–2.5000–13.0000–3.0000)(aconj%共轭复数ans0.2308+0.1538i1.5000+2.5000i–3.5000+13.0000i1.0000+3.0000i)(aabs%模ans0.27742.915513.46293.1623)(aangle%辐角ans–0.5880–1.0304–1.8228-1.24904．复数的乘除法复数的乘除法运算由“/”和“”实现。例复数的乘除法演示。)3/exp(4ipixxi4641.30000.24)5/exp(3ipiyyi7634.14271.2)5/exp(31ipiy1yi7634.14271.2yx/ansi5423.02181.11/yxansI3260.11394.0由此例可见，i5/)(相当于)5/()(i，和i5/)(不相等。5．复数的平方根复灵敏的平方根运算由函数sprt实现。调用形式)(xsprt返回复数x的平方根值6．复数的幂运算复数的幂运算的形式为nx^，结果返回复数x的n次幂。例求下列各式的值)6/1()^1(ans0.8660+0.5000i57．复数的指数和对数运算复数的指数和对数运算分别由函数exp和log实现。调用形式)exp(x返回复数x的以e为底的指数值)log(x返回复数x的以e为底的对数值例求下列式的值（参见参考资料【4】P.68.2–15）。)log(iansi5708.10)43log(iansi2143.26094.18．复数的三角函数运算复数的三角函数运算函数参见下面的复数三角函数复数三角函数表函数名函数功能函数名函数功能)sin(x返回复数x的正弦函数值)sin(xa返回复数x的反正弦值)cos(x返回复数x的余弦函数值)cos(xa返回复数x的反余弦值)tan(x返回复数x的正切函数值)tan(xa返回复数x的反正切值)cot(x返回复数x的余切函数值)cot(xa返回复数x的反余切值)sec(x返回复数x的正割函数值)sec(xa返回复数x的反正割值)csc(x返回复数x的余割函数值)csc(xa返回复数x的反余割值6)sinh(x返回复数x的双曲正弦值)coth(x返回复数x的双曲余切值)cosh(x返回复数x的双曲余弦值)(secxh返回复数x的双曲正割值)tanh(x返回复数x的双曲正切值)(cscxh返回复数x的双曲余割值9．复数方程求根复数方程求根或实方程的复数根求解也由函数solve实现。见下面的例子.例求方程083x所有的根（参见参考资料【4】P.32.1–16）。)083^(xsolveans[–2])]2/1(^31[i)]2/1(^31[i3留数留数定义：设a是)(zf的孤立奇点，C是a的充分小看邻域内一条把a点包含在其内部的闭路，积分Cdzzfi)(21称为)(zf在a点的留数或残数，记作]),([Reazfs。在MATLAB中，可由函数residue实现。residue留数函数（部分分式展开）),(],,[ABresidueKPR函数返回留数，极点和2个多项式比值)(/)(sAsB的部分分式展开的直接项。)()()()2()2()1()1()()(sKnPsnRPsRPsRsAsB如果没有重根，则向量B和A为分子、分母以s降幂排列的多项式系数，留数7返回为向量R、极点在向量P的位置，直接项返回到向量K。极点的数目)()(1)(PlengthRlengthAlengthn。如果)()(AlengthBlength，则直接项系数为空；否则1)()()(AlengthBlengthKlength。如果存在M重极点即有)1()(mjPjP则展开项包括以下形式mjPsmjRjPsjRjPsjR))(()1())(()1()()(2),,(],[KPRresidueAB有3个输入变量和2个输出变量，函数转换部分因式展开还为系数为B和A的多项式比的形式。注意：数值上讲，分式多项式的部分因式展开实际上代表了一类病态问题。如果分母多项式)(SA是一个近似有重根的多项式，则在数值上的一点微小变化，包括舍入误差都可能造成极点和留数结果上的巨大变化。因此使用状态空间和零点—极点表述的方法是可取的。例求如下函数的奇点处的留数。zzz212在MATLAB实现如下])0,2,1[],1,1([],,[residuekprr1.5000–0.5000p20k[]8所以可得5.0]0),([Re;5.1]2),([Rezfszfs。例计算下面的积分Cdzzz14其中C为正向圆周2||z。（参见参考资料【4】P.158.例2）解：先求被积函数的留数])1,0,0,0,1[],0,1([],,[residuekprr0.25000.2500–0.2500–0.0000i–0.250+0.0000ip–1.00001.00000.0000+1.0000i0.0000–1.0000i0k[]可见在圆周2||z内有四个极点，所以积分值等于0)25.025.025.025.0(2pi。4Taylor级数展开Taylor级数开展在复变函数中有很重要的地位，如分析复变函数的解析性等。函数)(xf在0xx点的Taylor级数开展为9!3/)0)(0(!2/)0)(0()0)(0(0)(3^2^xxxfxxxfxxxfxxf在MATLAB中可由函数taylor来实现。taylor泰勒级数展开)(ftaylor返回f函数的五次幂多项式近似。此功能函数可有3个附加参数。),(nftaylor返回1n次幂多项式。),(aftaylor返回a点附近的幂多项式近似。),(xrtaylor使用独立变量代替函数)(ffindsym。例求下列函数在指定点的泰勒开展式（参见参考资料【4】P.143.12）。（1）10,/12zz（2）4/0,piztgz；MATLAB实现为：)1,2^/1(xtaylor5)^1(64)^1(53)^1(42)^1(323xxxxx)4/),(tan(pixtaylorans3/103)^4/1(3/82)^4/1(22/121pixpixpix5)^4/1(15/644)^4/1(pixpix例再看下面的展开式)10,/)(sin(xxtaylorans8^362880/16^5040/14^120/12^6/11xxxx展开式说明0x是此函数的伪奇点！这里的taylor展开式运算实质上是符号运算，因此在MATLAB中执行此命令前10应先定义符号变量zxsyms,，否则MATLAB将给出出错信息！5Laplace变换及其逆变换1．Laplace变换)(FlaplaceL返回以默认独立变量T对符号函数F的Laplace变换。函数返回默认为s的函数。如果)(sFF，则Laplace函数返回t的函数)(tLL。其中定义L为对t的积分inf),0),exp()(int()(tstFsL。),(tFlaplaceL以t代替s的Laplace变换。),(tFlaplace等价于),0),exp()(int()(infxtxFtL。),,(zwFlaplaceL以z代替s的Laplace变换（相对于w的积分）。),,(zwFlaplace等价于inf),0),exp()(int()(wzwFzL。例如：symsastwx)5^(xlaplaceans6^/120s))(exp(sapaplaceans)/(1at)),(sin(txwlaplaceans11)2^2^/(wtw),),((twwxconslaplaceans)2^2^/(xtt)),2/3(^(tsymxlaplaceans)2/5(^/)2/1(^4/3tpi))))((((xFsymdifflaplaceans)0(),),((FssxxFlaplace2．Laplace逆变换)(LilaplaceF返回以默认独立变量s的数量符号L的Laplace变换，默认返回t的函数。如果)(tLL，则ilaplace返回x的函数)(xFF。)(xF定义为对s的积分inf)inf,,),exp()(int()(icicstssLtF；其中c为选定实数，使得)(sL的所有奇点都在直线cs的左侧。),(yLilaplaceF以y代替默认的t的函数，且有),(yLilaplace等价于inf)inf,,),exp()(int()(icicsysyLyF。这里y是个数量符号。),,(xyLilaplaceF以x代替t的函数，),,(xyLilaplace等价于inf)inf,,),exp()(int()(icicyyxyLyF，对y取积12分。例如：yxwtssyms))1/(1(silaplaceans)exp(t))12^/(1(tilaplaceans)sin(xilaplace))),2/5((ˆ(xsy