振型参与质量的简明推导

振型参与质量的计算方法（曲哲，2014.12.24）无阻尼多自由度体系在地震作用下的运行方程为：[M]{𝑦̈}+[K]{y}=−[M]{1}𝑦0̈(1)令{y}=[]{q}，则有{𝑦̈}=[Φ]{𝑞̈}，代入式(1)有[M][Φ]{𝑞̈}+[K][Φ]{q}=−[M]{1}𝑦0̈(2)两边同时右乘[]T，有[Φ]𝑇[M][Φ]{𝑞̈}+[Φ]𝑇[K][Φ]{q}=−[Φ]𝑇[M]{1}𝑦0̈(3)[M]ϕ{𝑞̈}+[K]ϕ{q}=−[Φ]𝑇[M]{1}𝑦0̈(4)其中[M]与[K]均为对角阵。故式(3)可写作{𝜙}s𝑇[M]{𝜙}𝑠𝑞̈s+{𝜙}s𝑇[K]{𝜙}s𝑞s=−{𝜙}s𝑇[M]{1}𝑦0̈,s=1~N(5)𝑞̈s+𝐾s𝑀s𝑞s=−{𝜙}s𝑇[M]{1}{𝜙}s𝑇[M]{𝜙}𝑠𝑦0̈,s=1~N(6)定义振型参与系数（modalparticipationfactor，刺激係数）𝛽s=−{𝜙}s𝑇[M]{1}{𝜙}s𝑇[M]{𝜙}𝑠(7)相应地，s{}s称为振型参数向量（刺激係数），与振型归一化方法无关。另有展开定理如下。设{𝑥}=∑𝛼s{𝜙}ss，两边同时右乘{𝜙}sT[M]，根据振型正交性有，{𝜙}s𝑇[M]{𝑥}=𝛼s{𝜙}s𝑇[M]{𝜙}s(8)𝛼s=−{𝜙}s𝑇[M]{𝑥}{𝜙}s𝑇[M]{𝜙}𝑠(9)对比式(7)和式(9)可知，{1}=∑𝛽s{𝜙}ss(10)结构总质量∑𝑚ii={1}T[M]{1}=(∑𝛽s{𝜙}𝑠𝑇s)[M](∑𝛽s{𝜙}ss)=∑𝛽s2{𝜙}𝑠𝑇[M]{𝜙}ss=∑𝛽s2𝑀ss(11)可见，以振型参与向量s{}s为振型向量得到的振型质量𝛽s2𝑀s与振型归一化方法无产，且其和等于结构总质量，可作为振型参与质量。