2011年成人高考专升本高数试题及答案

2011年成人高考专升本高数试题及答案一、填空题：1~5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．1．若,,2yxyyxyxf则yxf,1()2xxy．2．xnisxinsxx1lim200．3．设322axxy在1x处取得极小值，则a=4．4．设向量,23aijbjk，则ab2．5．201xdttdxd212xx．二、选择题：6~10小题，每小题4分，共20分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．6．函数41922xxxf的定义域是[C]（A）,22,；（B）3,22,3；（C）3,22,3；（D）,32,23,．7．曲线26322xxy上点M处的切线斜率为15，则点M的坐标是[B]（A）)15,3(；（B）)1,3(；（C）)15,3(；（D）)1,3(．8．设cos(2)zxy，则zy等于[D]（A）sin(2)xy；（B）2sin(2)xy；（C）sin(2)xy；（D）2sin(2)xy。9．下列函数在给定区间上满足拉格朗日中值定理的是[D]（A）Axy，2,1x；（B）)1ln(xy，1,1x；（C）xy1，1,1x；（D）)1ln(2xy，3,0x.10．无穷级数14/511nnn[A]（A）绝对收敛；（B）条件收敛；（C）发散；（D）敛散性不能确定．三、解答题：11~17小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．（本题满分7分）计算定积分1230(1)xxdx．解：原式=123201(1)(1)2xdx=1042)1(81x=15812．（本题满分7分）设20061()fxxgx,其中)(xg在1x处连续，且1)1(g，求)1(f．解：1)1()(lim)1('1xfxffx20061(1)()lim1xxgxx200520041(1)(1)()lim1xxxxxgxx200520041lim(1)()xxxxgx200613．（本题满分8分）求抛物线243yxx及其在点(0,3)和(3,0)处的切线所围成的平面图形的面积．解：24,(0)4,(3)2yxyy在(0,3)处的切线方程为43yx在(3,0)处的切线方程为26yx两条切线的交点为3(,3)2从而所求平面图形的面积可表示为3322230243(43)26(43)Sxxxdxxxxdx7分33222302(69)xdxxxdx9414．（本题满分8分）求微分方程2(6)20yxdyydx的通解．解：原方程可变形为32dxyxdyy则33()2dydyyyyxeedyC233331()()222yyyydyCyCCyy。15．（本题满分8分）计算Dyydxde2，其中D是以)0,0(O，)1,1(A，)1,0(B为顶点的三角形闭区域．解：原式1002yydxedy102dyyey102221dyey10221yde21012ye)1(211e16．（本题满分8分）求二元函数yxyxyxz39422的极值．解：先解方程组241041830zxyxzxyy可得驻点31(,)1010分别求二阶偏导数：222222,4,18zzzxxyy在点31(,)1010处，20,4,18ABC，2200ACB(,)zxy在点31(,)1010处有极小值310．17．（本题满分7分）求微分方程3()0(0)xydyydxy的通解．解：原方程可变形为21dxxydyy则微分方程的通解为112()dydyyyxeyedyC324111()()44yCyydyCyCyyy18．（本题满分7分）设)(xf在],[ba上连续，且xbxadttfdttfxFxf)(1)()(,0)(，)(bxa，证明：（1）2)(xF；（2）方程0)(xF在,ab内有且仅有一个实根。证明：1．依题意有：xfxfxF1210,0xfxfxFxfxf2xF2．因为baabdttfbFdttfaF,1所以.01dttfdttfbFaFbaab由罗尔定理方程至少有一实根。又据1结论知xFxF,0在（a,b）上单调递减。故原方程在（a,b）内有且仅有一个实根。