有限元法基础讲义

南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:[phone]Fax:[phone]有限元法基础讲义南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:[phone]Fax:[phone]有限元法基础讲义１.前言２.绪论３.弹性力学基本概念与方法４.平面问题的有限元法５.轴对称问题的有限元法６.有限元方程的解法７.有限元法的程序设计８.等参数单元南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:[phone]Fax:[phone]前言１.课程简介２.学习课程的基本要求３.选用教材，参考书南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:[phone]Fax:[phone]课程简介有限元法基础这门课主要讲授有限原法的基础概念与原理，基本方法与程序（有限元）的基本使用方法，同时补充部分弹性力学的基本概念。课题讲授中心平面问题为主，重点讲授三角形单元，等参数单元求解平面问题的基本理论与方法，同时介绍有限元方程组的解法，以ANSYS程序为例讲解有限元程序的使用方法，并通过上机操作熟悉该软件。南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:[phone]Fax:[phone]通过介绍有限元法的基本概念，理论，方法与程序，使学生能够掌握其求解力学问题的特点，解题过程，熟悉一种有限元程序，初步具备使用有限元方法解决工程设计分析问题的能力。本课程讲授的目的南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:[phone]Fax:[phone]本课程的要求1.做好笔记，及时复习与总结2.阅读参考书籍独立上机操作3.独立上机操作南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:[phone]Fax:[phone]选用教材及参考书《机械工程中的有限元基础》高德平主编西北工业大学出版社参考书：《有限元法》李景涌编北京邮电大学出版社《有限单元发基本原理和数值方法》王冒城编清华出版社《弹性力学简明教程》徐芝纶高等教育出版社南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:[phone]Fax:[phone]有限元法的一般概念１.２有限元法与其他课程之间的关系绪论南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:[phone]Fax:[phone]有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法，是解决工程实际问题的一种有力的数值计算工具，最初这种方法被用来研究复杂的飞机结构中的应力，是将弹性理论，计算数学和计算机软件有机的结合在一起的一种数值分析技术。由于这一方法的灵活，快速和有效性，是齐迅速发展成为求解各领域的数理方程的一种通用的近似计算方法，目前已在许多学科领域和工程问题中得到广泛的应用。常用数值分析方法：差分法，有限元法，有限体积法，边界元法有限元法的一般概念南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:[phone]Fax:[phone]有限元法的基本思想将一个连续的求解域（连续体）离散化即分割成彼此用节点（离散点）互相联系的有限个单元，在单元体内假设近似解的模式，用有限个结点上的未知参数表征单元的特性，然后用适当的方法，将各个单元的关系式组合成包含这些未知参数的代数方程，得出个结点的未知参数，再利用插值函数求出近似解。是一种有限的单元离散某连续体然后进行求解得一种数值计算的近似方法。由于单元可以被分割各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好的适应复杂的几何形状，复杂的材料特性和复杂的边界条件，再加上它有成熟的大型软件系统支持，使它已成为一种非常受欢迎的，应用极广的数值计算方法。南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:[phone]Fax:[phone]有限元法的基本求解步骤位移型有限元法求解静力问题的一般步骤：１）划分单元；２）计算单元刚度矩阵；３）进行载荷移置；４）引入约束，解方程组求得位移；５）计算应力和应变。注：若以节点力为未知参数，先求出节点处的节点力，后求位移与应力的方法，称为力型有限元法。南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:[phone]Fax:[phone]有限元法的基本概念结构离散化：1）划分网格；2）载荷移置；3）简化约束。单元刚度矩阵与刚度系数：1）单元刚度矩阵物理意义为单元抵抗变形的能力；2）刚度系数的物理意义是产生单位位移时需要的力的大小。南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:[phone]Fax:[phone]有限元法与其他课程的关系物理机械振动力学流体力学热力学固体力学弹性力学理论力学工程力学弹性力学结构力学塑性力学计算数学计算机学计算力学计算固体力学计算结构力学有限元法力学的分类南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:[phone]Fax:[phone]各学科的任务与特点材料力学：研究杆状构件在拉压，剪切，弯曲，扭转作用下的应力和位移。结构力学：在材料力学基础上研究杆状构件所组成的结构例如，行架，刚架等，这些都是所谓的杆件系统。弹性力学：非杆状结构，例如板和水坝，地基等实体结构以及对杆状构件作进一步，较精确的分析。它与材料力学的研究方法不同，主要是在材力中引入了构件形变状态或应力分布的假设，使数学推导大大简化，其解是理论解（近似的），而弹性力学南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:[phone]Fax:[phone]则更精确一些。计算力学：是应用结构力学，弹性力学，计算数学，计算机学的一个结合，提供近似的数值计算方法，解决问题，而有限元法是其中的一种方法。上述各种方法最终目标是确立研究对象的应力，形变和位移，用以校核其是否有所需要的强度和刚度。各学科的任务与特点南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:[phone]Fax:[phone]弹性力学中的基本概念与方法２.１弹性力学２.２弹性力学中的基本假定２.３弹性力学中的基本概念南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:[phone]Fax:[phone]弹性力学即弹性体力学，有称弹性理论，是固体力学的一个分支，主要研究弹性体由于受外力作用或温度改变以及边界条件变化等原因发生的应力，形变和位移。南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:[phone]Fax:[phone]（1）假定物体是连续的假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙，这样物体内的应力，形变，位移等才可能是连续的，因而用坐标的连续函数来表示它们的变化规律。只要组成物体的微观尺寸及相林微粒之间的距离都比物体的尺寸小很多，那麽假定引起的误差就不大。（2）假定物体是完全弹性的完全弹性提出是物体能完全恢复原形而没有剩余形变。这样物体在任一瞬时的形变就完全决定于它在这一瞬时所受的外力，而与它的过去受力状况无关，完全弹性体服从虎克定律；，也就是形变与引起该形变的应力呈正比（线形弹性），弹性常数不随应力或形变而变。弹性力学中的基本假定南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:[phone]Fax:[phone]（3）假定物体是均匀的也就是，整个物体由同一材料组成，各部分具有相同的弹性。（4）假定物体是各向同性的即物体的弹性在各个方向都相同，这样，物体的弹性常数才不随访向而变。由于钢材作成的构件，虽然包含有各向异性的晶体，但晶体很微小，且随机排列，所以起弹性大致是相同的。符合以上四个假定的物体，就称为理想弹性体。弹性力学中的基本假定南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:[phone]Fax:[phone]弹性力学中的基本假定（5）假定位移和形变是微小的即假定物体受力后，整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:[phone]Fax:[phone]弹性力学中的基本概念（1）外力分为体积力和表面力，简称为体力和面力。体力：是分布在物体体积内的力。如重力和惯性力(N/m3)(N/m2)FVQVlim0FSQS0lim南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:[phone]Fax:[phone]面力：是分布在物体表面上的力。如流体压力和接触力F在x，y，z轴上的投影X，Y，Z称为该物体在P点的体力分量，以沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。F在x，y，z轴上的投影，，称为在P点的面力分量，以沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。（2）应力：研究物体在某一点P的内力。研究物体在其某一点P的内力弹性力学中的基本概念XYZsAQA0lim南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:[phone]Fax:[phone]这个极限矢量S就是物体在截面mn上的，在P点的应力，应力的S方向就是△Q的极限方向。对于应力，处了推导公式外，通常不用它在坐标轴方向的分量,，因为这些分量与物体的形变或材料强度都没有直接的关系。与物体的形变或材料强度直接相关的，是应力在其作用截面的法线方向的分量，也就是正应力及剪应力。因次（N/m**2）显然可见，在物体内的一点P，不同街面上的应力是不同的，为了分析这一点的应力状态，即各街面上的应力的大小和方向。弹性力学中的基本概念南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:[phone]Fax:[phone]弹性力学中的基本概念PA=xPB=yPC=z南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:[phone]Fax:[phone]弹性力学中的基本概念例如：x是作用在垂直于x轴的面上xy表示“x”垂直于x轴，表示“y”沿着y轴的方向正面——截面上的外法线坐标轴的正向，沿正向为正负面——截面上的外法线坐标轴的负向，沿负向为正剪应力与材料力学的不同南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:[phone]Fax:[phone]六个剪应力之间有一定的互等关系。例如，以ab为矩轴，可得：同理：zx=xzxy=yx可以证明：在物体的任意一点，如果已知x、y、z、yz、zx、xy就可求得经过该点的任意截面上的正应力和剪应力。因此，六个分量可以完全确定该点的应力状态。（3）形变：就是形状的改变，可以归结为长度和角度的改变。为了分析物体在某一