第9章-传递函数矩阵的结构特性ok

第9章传递函数矩阵的结构特性第9章传递函数矩阵的结构特性史密斯-麦克米伦形传递函数矩阵的有限极点和有限零点传递函数矩阵的结构指数传递函数矩阵在无穷远处的极点和零点传递函数矩阵的评价值传递函数矩阵的零空间和最小多项式基传递函数矩阵的亏数传递函数矩阵的结构特性是复频域分析和综合的基础极点和零点的分布属性决定系统的稳定性和运动行为极点和零点的不平衡属性反映系统的奇异特性和奇异程度重点掌握的内容Smith-McMillan型极点和零点结构指数9.1史密斯-麦克米伦形定义当且仅当秩为r的q×p有理分式矩阵M(s)具有如下形式：其中，⑴{εi(s),φi(s)}为互质，i=1,2,…,r；⑵满足整除性φi+1(s)|φi(s)和εi(s)|εi+1(s)，i=1,2,…,r-1000)()()()()()()(2211sssssssMrrSmith-McMillan型构造原理对于q×p有理分式矩阵G(s)，设r=RankG(s)≤min{q,p}则必存在q×q和p×p单模阵U(s)、V(s)，使得变换后传递函数矩阵U(s)G(s)V(s)为Smith-McMillan型例：导出下列2×2严格真有理分式矩阵G(s)的Smith-McMillan型解：首先定出G(s)各元有理分式最小公分母d(s)和相应分子多项式矩阵N(s)，有22222)2()2()2()2()1()(ssssssssssG22222)1()1()1()(,)2()1()(ssssssssNsssd进而，取单模阵对U(s)、V(s)，10)1(1)(,1)1(01)(22ssVssU)()(1sNsd222222)2()1()2()1(00)2()1()()()()()(1)(sssssssssVsGsUssdsM本例得到的Smith-McMillan型M(s)不再保持为严格真)2()1(0010)1(1)1()1()1(1)1(01)()()()(2222222ssssssssssssssVsNsUs200)2()1()()()()(222ssssssVsGsUsM化N(s)为Smith型(1)Smith-McMillan型M(s)的惟一性有理分式矩阵G(s)的Smith-McMillan型M(s)为惟一。(4)非奇异G(s)的属性对q×q非奇异有理分式矩阵G(s)，下列等式成立：其中，α为非零常数。)()()(det1sssGiiqi(3)Smith-McMillan型M(s)的非保真性严真性有理分式矩阵G(s)的Smith-McMillan型M(s)不保持严真性，M(s)甚至可能为非真性。注：导致M(s)非保真性的原因是，单模变换阵对{U(s)，V(s)}的引入，可能会在M(s)中附加引入乘子sk，k=1,2,…。如前例7-5。(2)将G(s)化成M(s)的单模阵对{U(s)，V(s)}不惟一性化有理分式矩阵G(s)为Smith-McMillan型M(s)的单模阵对{U(s)，V(s)}不惟一。Smith-McMillan型的基本特性(5)M(s)的MFD表示：对秩为r的q×p传递函数矩阵G(s)，其Smith-McMillan型M(s)为则可将M(s)表示为右MFD，M(s)=Er(s)Ψr-1(s)如若引入000)()()()()()()()()()(2211sssssssVsGsUsMrrrprrrprqrrIssssssssE00)()()()(,000)()()()(21)()(21(5)M(s)的MFD表示：对秩为r的q×p传递函数矩阵G(s)，其Smith-McMillan型M(s)为000)()()()()()()()()()(2211sssssssVsGsUsMrr则可将M(s)表示为左MFD，M(s)=Ψl-1(s)El(s)rqrlrprqrlIssssssssE00)()()()(,000)()()()(21)()(21(6)G(s)基于Smith-McMillan型M(s)的不可简约MFD：对q×p传递函数矩阵G(s)，其Smith-McMillan型为M(s)，单模变换阵对为{U(s)，V(s)}，M(s)的右MFD和左MFD为M(s)=Er(s)Ψr-1(s)和M(s)=Ψl-1(s)El(s)若取Nr(s)=U-1(s)Er(s)，Dr(s)=V(s)Ψr(s)则Nr(s)Dr-1(s)为G(s)的不可简约右MFD。若取Nl(s)=El(s)V-1(s)，Dl(s)=Ψl(s)U(s)则Dl-1(s)Nl(s)为G(s)的不可简约左MFD。9.2传递函数矩阵的有限极点和有限零点MIMO线性时不变系统的极点、零点有限极点零点无穷远处极点零点考虑q×p传递函数矩阵G(s)，r=RankG(s)≤min{q,p}，导出其Smith-McMillan型为M(s)为000)()()()()()()(2211sssssssMrr传递函数矩阵的有限极点和有限零点对秩为r的q×p传递函数矩阵G(s)，Smith-McMillan型M(s)有G(s)有限极点=“M(s)中φi(s)=0根，i=1,2,…,r”G(s)有限零点=“M(s)中εi(s)=0根，i=1,2,…,r”解：G(s)的Smith-McMillan型M(s)为例：求2×2传递函数矩阵G(s)的有限极点和有限零点22222)2()2()2()2()1()(ssssssssssG200)2()1()(222ssssssMG(s)有限极点G(s)有限零点s=-1(二重)，s=-2(三重)s=0(三重)说明(1)适用性只适用于传递函数矩阵G(s)在有限复数平面上的极、零点不适用于G(s)在无穷远处的极、零点(2)G(s)极点、零点分布的特点与SISO线性定常系统的标量传递函数g(s)不同MIMO线性定常系统的传递函数矩阵G(s)的极点、零点可位于复平面上的同一位置上而不构成对消。对q×p传递函数矩阵G(s)，设r=RankG(s)≤min{q,p}表Nr(s)Dr-1(s)和Dl-1(s)Nl(s)为G(s)任一不可简约右MFD和任一不可简约左MFD，则G(s)有限极点=“detDr(s)=0根”或“detDl(s)=0根”G(s)有限零点=“RankNr(s)r的s值”或“RankNl(s)r的s值”极点零点的推论性定义1例：求出传递函数矩阵G(s)=Nr(s)Dr-1(s)，RankG(s)=2的有限极、零点解：1)12)(1(0)(,1120)1()(3sssssDssssNrr{Dr(s),Nr(s)}为右互质Nr(s)Dr-1(s)为G(s)的一个不可简约右MFDG(s)有限极点G(s)有限零点detDr(s)=s3(-s+1)=0根s=0(三重)，s=1RankNr(s)2的s值s=0，s=-10CBAsI极点零点的推论性定义2对q×p严格真传递函数矩阵G(s)，设其外部等价的任一状态空间描述为{A∈ℛn×n,B∈ℛn×n,C∈ℛn×n}，{A，B}完全可控，{A，C}完全可观测，则有G(s)有限极点=“det(sI-A)=0根”G(s)有限零点=使降秩的s值对q×p严格真传递函数矩阵G(s)，表其所属线性时不变系统的一个可控和可观测状态空间描述为{A，B，C}，z0为G(s)的任一零点，则对满足关系式：的所有非零初始状态x0和所有非零常向量u0，系统输出对形如的一类输入向量函数具有阻塞作用，即其所引起的系统强制输出y(t)≡0。0000)(0BuxAIzCxtzeutu00)(对零点的直观解释极点决定系统输出运动组成分量的模式零点反映系统对与零点关联的一类输入函数具有阻塞性9.3传递函数矩阵的结构指数结构指数的定义对q×p传递函数矩阵G(s)，r=RankG(s)≤min{q,p}，表Spz=G(s)的有限极点和有限零点的集合那么，若对任一ξk∈Spz导出对应的r×r对角阵：则称{σ1(ξk),…,σr(ξk)}为G(s)在s=ξk的一组结构指数。)()()()()(1krkkkksssM例：求传递函数矩阵G(s)在各个极点零点处的结构指数解：r=RankG(s)=2，G(s)的Smith-McMillan型为G(s)极点和零点集合Spz={-2，-1，0}进而，直接由Smith-McMillan型M(s)，即可定出G(s)在“s=-2”结构指数{σ1(-2)，σ2(-2)}={-2，-1}G(s)在“s=-1”结构指数{σ1(-1)，σ2(-1)}={-2，0}G(s)在“s=0”结构指数{σ1(0)，σ2(0)}={1，2}22222)2()2()2()2()1()(ssssssssssG200)2()1()(222ssssssM对结构指数的讨论给定G(s)在s=ξk的结构指数组{σ1(ξk),…,σr(ξk)}，对σi(ξk)，有σi(ξk)=正整数⇔G(s)在s=ξk有σi(ξk)个零点σi(ξk)=负整数⇔G(s)在s=ξk有|σi(ξk)|个极点σi(ξk)=零⇔G(s)在s=ξk无极点和零点给定G(s)在s=ξk的结构指数组{σ1(ξk),…,σr(ξk)}，则有G(s)在“s=ξk”极点重数={σ1(ξk),…,σr(ξk)}中负指数之和的绝对值G(s)在“s=ξk”零点重数={σ1(ξk),…,σr(ξk)}中正指数之和传递函数矩阵G(s)在非极点零点处的结构指数必恒为0。即，给定G(s)，若α∉Spz为任意有限值，则有σi(α)=0，i=1,2,…,r基于结构指数的Smith-McMillan型表达式对q×p传递函数矩阵G(s)，设r=RankG(s)≦min{q,p}，表G(s)极点零点集合Spz={ξ1，ξ2，…，ξn}G(s)在s=ξk的结构指数组{σ1(ξk),…,σr(ξk)})()()()()(1krkkkksssMSmith-McMillan型M(s)为000)(000)()()(1nkiisMssdiagsMk一旦定出G(s)的各个极点零点及结构指数组，就可定出G(s)的Smith-McMillan型M(s)