《高等数学》上册知识点汇总

三角函数公式同角三角函数的基本关系式：倒数关系：商的关系：平方关系：二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式两角和与差的三角函数：万能公式：和差化积公式：积化和差公式：等比数列的求和公式：等差数列求和公式：立方和差公式：对数的概念：如果（）的次幂等于，即，那么数叫做以为底的对数，记作：.由定义知：（1）负数和零没有对数；（2）；（3），，，.对数函数的运算法则：（）（）（）（）（）三角函数值角度α010-1010-10101/-10/0导数公式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）基本积分表：（1）（是常数），（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）第一章函数与极限第一节映射与函数一、集合如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A.全体非负整数即自然数的集合记作N，即；全体正整数的集合为；全体整数的集合记作Z，即；全体有理数的集合记作Q，即；全体实数的集合记作R.如果集合A与集合B互为子集，即A⊂B且B⊂A，则称集合A与集合B相等，记作A=B.例如，设.则A=B若A⊂B且A≠B，则称A是B的真子集，记作A⊊B.不含任何元素的集合称为空集，规定空集Φ是任何集合A的子集，即Φ⊂A.设A、D、C为任意三个集合，则有下列法则成立:（1）交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A;（2）结合律，（3）分配律，（4）对偶律，二、映射定义设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作f：X→Y其中y称为元素x（在映射f下）的像，并记作了，即而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像；集合X称为映射f的定义域，记作，即；X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记作或，即三、函数定义设数集D⊂R，则称映射f：D→R为定义在D上的函数，通常简记为其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作，即.如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的.在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数，通常称为分段函数.函数的几种特性：（1）函数的有界性如果存在正数M，使得对任一都成立，则称函数在上有界·如果这样的不存在，就称函数在上无界;这就是说，如果对于任何正数，总存在，使，那么函数在上无界.容易证明，函数在上有界的充分必要条件是它在上既有上界又有下界.（2）函数的单调性（3）函数的奇偶性设函数的定义域D关于原点对称.如果对干任一，恒成立，则称为偶函数.如果对干任一，恒成立，则称为奇函数.偶函数的图形关于y轴是对称的，奇函数的图形关于原点是对称的，反函数的图形关于y=x对称.函数是奇函数.函数是偶函数.函数既非奇函数，也非偶函数.（4）函数的周期性设函数的定义域为D.如果存在一个正数l，使得对于任一有且恒成立，则称为周期函数,称为的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期.初等函数：幂函数：指数函数：对数函数：三角函数：反三角函数：以上这五类函数统称为基本初等函数.由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.对数函数与指数函数当，，对数函数是指数函数的反函数.第二节数列的极限定义设为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ϵ（不论它多么小），总存在正整数N，使得当nN时，不等式都成立，那么就称常数a是数列的极限，或者称数列收敛于a，，记为如果不存在这样的常数a，就说数列没有极限，或者说数列是发散的，习惯上也说不存在.定理1（极限的唯一性）如果数列收效，那么它的极限唯一.定理2（收敛数列的有界性）如果数列收效，那么数列一定有界.根据上述定理，如果数列无界，那么数列一定发散，但是，如果数列有界。却不能断定数列一定收敛，所以数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.定理3（收敛数列的保号性）如果，且，那么存在正整数N0，当nN时，都要.定理4（收效数列与其子数列间的关系）如果数列收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.第三节函数的极限定义1设函数在点的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当𝓍满足不等式时，对应的函数值都满足不等式那么常数A就叫做函数当时的极限，记作我们指出，定义中表示，所以时有没有极限，与在点是否有定义并无关系.定义2设函数在当大于某一正数时有定义.如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在着正数X，使得当x满足不等式时，对应的函数值都满足不等式那么常数A就叫做函数当时的极限，记作定理1（函数极限的唯一性）如果存在，那么这极限唯一.定理2（函数极限的局部有界性）如果，那么存在常数M0和δ0，使得当时，有.定理3（函数极限的局部保号性）如果，且A0（或A0），,那么存在常数δ0，使得当时，有.第四节无穷小与无穷大定义1如果函数当（或）时的极限为零，那么称函数为当（或）时的无穷小特别地，以零为极限的数列称为时的无穷小.定理1在自变量的同一变化过程（或）中，函数具有极限A的充分必要条件是了，其中是无穷小.定义2设函数在的某一去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义），如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数δ（或正数），只要适合不等式（或），对应的函数值总满足不等式则称函数为当（或）时的无穷大.定理2在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小;反之，如果为无穷小，且，则为无穷大.第五节极限运算法则定理1有限个无穷小的和也是无穷小.定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理3如果，，那么（1）（2）（3）若又有B≠0，则推论1如果存在，而c为常数，则.推论2如果存在，而n是正整数，则定理6（复合函数的极限运算法则）设函数是由函数与函数复合而成，在点的某去心邻域内有定义，若，，且存在，当时，有，则第六节极限存在准则两个重要极限两个重要极限：准则Ⅰ如果数列、及满足下列条件：（1）从某项起，即∃，当时，有（2），那么数列的极限存在，且（称为：夹逼准则）准则Ⅱ单调有界数列必有极限柯西极限存在准则数列收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当时，就有这准则的几何意义表示，数列收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε，在数轴上一切具有足够大号码的点中，任意两点间的距离小于ε.柯西极限存在准则有时也叫做柯西审敛原理.第七节无穷小的比较定义:如果，就说β是比α高阶的无穷小，记作β=o（α）如果，就说β是比α低阶的无穷小.如果，就说β是比α同阶的无穷小.如果，就说β是关于α的阶无穷小.如果，就说β与α是等价的无穷小，记作α~β.等价无穷小：，，，，，，定理1β与α是等价无穷小的充分必要条件为：定理2设，，且存在，则第八节函数的连续性与间断点定义设函数在点的某一领域内有定义，如果那么就称函数在点连续.所以，函数在点连续的定义又可叙述如下：设函数在点的某一领域内有定义，如果：那么就称函数在点连续.设函数在点的某去心邻域内有定义.在此前提下，如果函数有下列三种情形之一：（1）在没有定义；（2）虽在有定义，但不存在；（3）虽在有定义，且存在，但，则函数在点为不连续，而点称为函数的不连续点或间断点.函数间断点的几种常见类型：（1）无穷间断点（2）震荡间断点（3）可去间断点（4）跳跃间断点通常把间断点分成两类：如果是函数的间断点，但左极限及右极限都存在，那么称为函数的第一类间断点.不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.可去间断点和跳跃间断点为第一类间断点.无穷间断点和震荡间断点显然是第二类间断点.第九节连续函数的运算与初等函数的连续性定理1设函数和在点连续，则它们的和（差）、积及商都在点连续.定理2如果函数在区间上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数也在对应的区间上单调增加（或单调减少）且连续.一般的，对于形如（）的函数（通常称为幂指函数），如果那么第十节闭区间上连续函数的性质定理1（有界性与最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值.定理2（零点定理）设函数在闭区间上连续，且与异号，那么在开区间内至少有一点ξ，使定理3（介值定理）设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同的函数值那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间内至少有一点ξ，使得推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.第二章导数与微分第一节导数概念定义设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即也可记作，，常数和基本初等函数的导数公式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）函数的和、差、积、商的求导法则：极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等。如果极限不存在，就说函数在点处不可导。如果不可导的原因是由于时，比式，为了方便起见，也往往说函数在点处的导数为无穷大.由此可见，当时，，这就是说，函数在点处是连续的，所以，如果函数在点处可导，则函数在该点必连续.另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导.第二节函数的求导法则定理1如果函数及都在点具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点具有导数.定理2如果函数在区间内单调、可导且，则它的反函数在区间内也可导，且反函数的导数等于直接函数导数的倒数.定理3如果在点可导，而在点可导，则复合函数在点可导，且其导数为第三节高阶导数莱布尼茨公式：第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率一般的，若参数方程（3）确定与间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程（3）所确定的函数.第五节函数的微分定义设函数在某区间内有定义，及在这区间内，如果增量可表示为其中A是不依赖于的常数，那么称函数在点是可微的，而叫做函数在点相应于自变量增量的微分，记作，即函数在点可微的充分必要条件是函数在点可导，且当在点可微时，其微分一定是函数在任意点的微分，称为函数的微分，记作或，即通常把自变量的增量称为自变量的微分，记作，即.于是函数的微分又可记作第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理费马引理设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有那么.通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）.罗尔定理如果函数满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即，那么在内至少有一点ξ，使得.拉格朗日中值定理如果函数满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；那么在内至少有一点ξ，使等式成立.定理如果函数在区间上的导数恒为零，那么在区间上是一个常数.柯西中值定理如果函数及满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）在任一，那么在内至少有一点ξ，使等式第二节洛必达法则定理1设（1）当时，函数及都趋于零；（2）在点的某去心邻域内，及都存在且；（3）存在（或为无穷大），那么这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.如果当时仍属于型，且这时，能满足定理中，所要满足的条件，那么可以继续施用洛必达法则先确定，从而确定，即且可以以次类推.定理2设（1）当时，函数及都趋于零；（2）当时，及都存在，且；（3）存在（或为无穷大），那么其他还有一些0∙∞、∞-∞、、、型的未定式，也可通过或型的未定式来计算.第三节泰勒公式泰勒中值定理如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，则对任一，有其中这里ξ是与之间的某个值.第四节函数的单调性与曲线的凹凸性定理1设函数