空间直角坐标系

预备知识数轴Ox上的点M直角坐标平面上的点MxOyAOxxM(x,y)xy实数x实数对(x，y)xo右手直角坐标系一、空间直角坐标系yz—Oxyz横轴纵轴竖轴111右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．空间的点有序数组),,(zyx11Mxyzo(,,)xyz空间中的点的坐标PQRx叫做点M的横坐标y叫做点M的纵坐标z叫做点M的竖坐标C'D'B'A'COAByzxxoy平面上的点竖坐标为0yoz平面上的点横坐标为0xoz平面上的点纵坐标为0x轴上的点纵坐标竖坐标为0z轴上的点横坐标纵坐标为0y轴上的点横坐标竖坐标为0一、坐标平面内的点二、坐标轴上的点中，在正方体CBADOABC.,243四点的坐标，，，写出，，中，在长方体BACDDOOCOACBADOABCC'D'B'A'COABzyx例1：如图CABD与相交于点P写出点P的坐标。平面：的中点1212(,)22xxyy类比猜想中点坐标公式12PP空间：的中点121212(,,)222xxyyzz12PPC'D'B'A'COAByzx中，在正方体CBADOABC棱长为a，OB’与BD’交于点Q写出点Q的坐标。22121212||()()PPxxyy平面：类比猜想22212121212||()()()PPxxyyzz空间：两点间距离公式例2在空间中，已知点A(1,0,-1)，B(4,3,-1)，求A、B两点之间的距离.例3已知两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)，点P在z轴上，若|PA|=|PB|，求点P的坐标.aAB平面向量空间向量具有大小和方向的量几何表示：有向线段字母表示:向量的大小模为0的向量，与任何向量共线模为1的向量，没有规定方向长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相同的向量定义表示法向量的模零向量单位向量相反向量相等向量一、空间向量的基本概念ABaababOABb空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，内，成为同一平面内的两个向量。O′1.空间向量的运算就是平面向量运算的推广．2.凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。平面向量空间向量二、空间向量的加法与减法运算加法法则运算律减法法则abba加法交换律加法结合律()()abcabcOAB三角形法则OABCOAODOC平行四边形法则OAABOBOAB三角形法则OAOBBA三、空间向量的数乘运算与平面向量一样,实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量.⑴当0时,a与向量a的方向相同;⑵当0时,a与向量a的方向相反;⑶当0时,a是零向量.例如:a3a3a空间向量的数乘运算满足分配律及结合律()()()ababaaaaa即：（）三、空间向量的数乘运算化简结果的向量：列向量表达式，并标出，化简下已知平行六面体''''DCBAABCD；⑴BCAB；⑵'AAADAB'21CCADAB⑶．⑷)'(31AAADABABCDA’B’C’D’例1''''ABCDABCD例2已知平行六面体，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BCAB解：ABCDA’B’C’D’BCAB⑴AC；⑵'AAADAB'AAADAB⑵'AAAC'CCAC　'AC''''ABCDABCD例2已知平行六面体，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：'21CCADAB⑶⑶设M是线段CC’的中点，则解：'21CCADABCMACAMABCDA’B’C’D’M)'(31AAADAB⑷设G是线段AC’靠近点A的三等分点，则G''''ABCDABCD例2已知平行六面体，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：．⑷)'(31AAADABABCDA’B’C’D’M解：'31AC．AG例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1111111)3(2)2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111)1(四、共线向量零向量与任意向量共线.1.空间共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作ba//2.与平面向量一样，对空间任意两个向量的充要条件是存在实数使)0(,bbaλbλa2.中线性质：若P为AB中点,则12OPOAOBOABP1.A、B、P三点共线APtABA(1)OPxOyOBxy四、共线向量1.平行于同一平面的向量,叫做共面向量.注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量既可能共面，也可能不共面dbac五、共面向量1211122122eeaeeaee如果，是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使。（、叫做表示这一平面内所有向量的一组不共线＝＋基底。）平面向量基本定理：【温故知新】2.如果两个向量不共线，pxaybp则向量与向量共面的充要条件是存在唯一实数对x,y使abABPpCba,ba,五、共面向量OAabBCPp'C存在唯一实数对,,（）使得xyAPxAByAC(1)其中，OPxOAyOBzOCxyz3.空间四点P、A、B、C共面五、共面向量共线向量共面向量定义向量所在直线互相平行或重合平行于同一平面的向量定理推论运用判断三点共线，或两直线平行判断四点共面，或直线平行于平面)0(//ababaABtOAOPACyABxOAOP共面)1(APyxOByOxO)1(0zyxOCzOByOAxOP共线向量与共面向量的区别,,pabpxayb1.下列命题中正确的有：(1)pxaybpab　与、共面;(2)pabpxayb与、共面　；(3)MPxMAyMBPMAB、、、共面；(4)PMABMPxMAyMB、、、共面；A.1个B.2个C.3个D.4个B2.对于空间中的三个向量它们一定是：A.共面向量B.共线向量C.不共面向量D.既不共线又不共面向量2MAMBMAMB、、－A3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，,则x的值为：OMxOAOBOC11＋＋331.1.0.3.3ABCDD4.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？212(1);555OPOAOBOC(2)22OPOAOBOC；两个向量的夹角的定义bababa互相垂直，并记作：与则称如果,2,OABaabb六、向量的数量积1.向量的夹角：平移到同起点2.0注意：①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②零向量与任意向量的数量积等于零。六、向量的数量积已知两个非零向量a,b，则|a||b|cos叫做向量a,b的数量积，记作ba即cos||||baba并规定00a1.空间向量的数量积性质aaababaeaaea2)30)2,cos)1注意：①性质2）是证明两向量垂直的依据；②性质3）是求向量的长度（模）的依据；对于非零向量，有：,ab2.空间向量的数量积满足的运算律：90页思考注意：分配律））交换律）()(3()2)()()1cabacbaabbababa1.数量积不满足结合律)()cbacba（2.数量积不满足除法3.数量积不满足消去律1.下列命题成立吗?①若,则②若,则③abacbckababk()()abcabc2.222,,22abab已知,则ab与的夹角大小为_____.1353.设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足则△BCD是()三角形A.钝角B.直角C.锐角0,0,0ABACABADACADC第92页1,2,3ABA1C1B1C1.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成角的大小为2902.已知在平行六面体中，ABCDABCD4AB3,5,90,60ADAABADBAADAAACD'C'B'DABCA'||85AC求对角线的长。通过学习,我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：1、证明两直线垂直;2、求两点之间的距离或线段长度;3、求两直线所成角.1.已知空间四边形OABC中,M,N,P,Q分别为BC,AC,OA,OB的中点,若AB=OC,求证：PM⊥QN．2.在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求BD3.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点。求下列向量的数量积：(1);(2);(3);(4).ABACADBDGFACEFBCABCDEFG4.如图，在空间四边形ABCD中，2AB，3BC，23BD，3CD，30ABD，60ABC，求AB与CD的夹角的余弦值奎屯王新敞新疆任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。六、空间向量基本定理如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组{x,y,z}，使,,abcp.pxaybzc都叫做基向量,,abc基向量是非零向量；三个基向量是不共面的已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.BOACPNMQ练习平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.分析:要用a,b,c表示MN,只要结合图形,充分运用空间向量加法和数乘的运算律即可.ABCDA1B1D1C1MN练习.空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则MN=().OABCMN(A)a－b+c122312(B)－a+b+c122312(C)a+b－c122312(D)a+b－c122323练习e1e2e3单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1,e2,e3表示空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底如图建立了一个空间直角坐标系O--xyzxyzO七、空间直角坐标系给定一个空间坐标系和向量,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)使p=xe1+ye2+ze3有序数组(x,y,z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作P(x,y,z)pxyzOe1e2e3p七、空间直角坐标系1212(,),(,)aaabbb设则;ab;ab;a;ab1122(,)abab1122(,)abab12(,)aa1122abab【新知探究】平面向量运算的坐标表示：类比推广123123(,,),(,,)aaaabbbb设则;ab;ab;a;ab112233(,,)ababab112233(,,)ababab123(,,)aaa112233ababab空间向量运算的坐标表示：例1．已知(2,3,5),(3,1,4),,8,,(2)abababaabaab求(2,3,5)(3,1,4)(5,4,9)ab(2,3,5)(3,1,4)(1,2,1)ab88(2,3,5)(16,24,40)a(2,3,5)(3,1,4)2(3)(3)15(4)29ab