结构力学第二章

1第2章平面体系的几何组成分析2本章导读学习内容：1.掌握几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系的概念，2.掌握刚片、自由度、约束、实铰与虚铰的概念；3.了解平面体系的计算自由度及其计算方法；4.掌握平面几何不变体系的基本组成规则及其运用；5.了解体系的几何组成与静力特性之间的关系。学习目的：体系的几何组成分析是判定体系能否作为建筑结构使用的依据，可以确定静定结构计算途径，可以确定超静定结构的多余约束的数目等。学习重点:平面几何不变体系的基本组成规则及其运用；静定结构与超静定结构的概念。学习难点：灵活运用三个基本组成规则分析平面杆件体系的几何组成性质。3b.几何不变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下，几何形状和位置保持不变的体系。1体系几何组成的定义a.几何可变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下，体系原有的几何形状和位置可以改变的体系。4c.几何瞬变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下，几何形状和位置可能产生微小的改变，随之即变成几何不变体系的体系。FPFP组成几何不变体系的条件：•具有必要的约束数；•约束布置方式合理5d.几何常变体系:体系缺少约束或约束布置不恰当，没有确定的几何形状与空间位置的体系（可发生持续大量的刚体位移）。★★体系几何组成分析的目的：a、研究结构正确的连接方式，确保所设计的结构能承受荷载，维持平衡，不至于发生刚体运动。b、了解结构各部分之间的组成关系，有助于改善和提高结构的性能。c、在结构计算时，可根据其几何组成情况，选择适当的计算方法；分析其组成顺序，寻找简便的求解途径。6造成体系几何可变的原因可能是内部构造不健全或者是外部约束不恰当PFABCDABCDPFA1B1(a)原几何不变体系(b)内部构造不健全ABABFPFPC1AC1B1(a)原几何不变体系(b)外部约束布置不当图2.2内部构造不健全造成几何可变图2.3外部约束布置不当造成几何可变72.几个基本概念形状可任意替换2.1刚片：将体系中巳经肯定为几何不变的部分看作是一个刚片。一根梁、一根链杆或者支承体系的基础也可看作是一个刚片。82.2自由度体系运动时可以独立改变的几何坐标的数目，称为该体系的自由度。平面上的一个点的自由度为2（或称作有2个自由度），平面上一个刚片的自由度为3。n=2xy平面内一点平面内一刚片xyn=392.3约束体系中能够减少自由度的装置称为约束。a.单约束：紧连接两个钢片的约束3-2=1链杆可以是曲的、折的杆，只要保持两铰间距不变，起到两铰连线方向约束作用即可6-4=21个单铰=2个约束=2根单链杆1根单链杆=1个约束106-3=31个刚节点=3个约束b.复约束：连接三个或三个以上钢片的约束ⅠⅡyAxy12Ⅲ3复铰：连结两个以上刚片的铰称为复铰。连结n个刚片的复铰相当于(n－1)个单铰。11思考复刚一个连接n个刚片的复刚相当3(n-1)个约束。复链杆连接n个结点的复链杆相当于2n-3个单链杆12c.多余约束：在一个体系中增加或减少一个约束，使得其自由度保持不变，则此约束称为多余约束。d.必要约束：在一个体系中增加或减少一个约束，将改变体系的自由度，则此约束称为必要约束。结论：只有必要约束才能对体系自由度有影响必要约束多余约束13支杆、固定铰支座、定向支座、固定支座的约束效果Ⅰ(地基)Ⅱ视作(a)支杆（活动铰支座）(b)固定铰支座(c)定向支座(d)固定支座内容扩展内容14（1）支杆（活动铰支座）将支杆所连接的地基和刚片分别视作前述分析链杆约束效果时的刚片Ⅰ和Ⅱ，则容易类比得到一根支杆相当于一个约束。（2）固定铰支座固定铰支座由两根不共线支杆相交构成，因此相当于两个约束。（3）定向支座定向支座由两根不共线的平行支杆构成，因此相当于两个约束。（4）固定支座固定支座可以视作定向支座再叠加与该定向支座支承方向不同的一根支杆构成，因此相当于三个约束。152.4实铰和虚铰AⅡ(参照刚片)Ⅰ1Ⅰ(a)实铰的相对位置固定ⅠⅠ1OO1(b)虚铰的相对位置变化虚铰Ⅱ(参照刚片)图2.8实铰和虚铰示例16AAⅠⅡⅠⅡ(a)两刚片用铰结在一起的两链杆相连(b)两刚片用铰直接相连图2.9实铰的常见情形17才从微小运动看，两根链杆所起的作用相当于在链杆交点处的一个铰所起的约束作用，此铰可称虚铰。18ABCDⅠⅡⅠⅠABDCABCD[Ⅰ,Ⅱ][Ⅰ,Ⅱ][Ⅰ,Ⅱ]∞(a)有限远虚铰情形1(b)有限远虚铰情形2(c)无穷远虚铰ⅡⅡ图2.10虚铰的常见情形193.平面体系自由度计算计算自由度=刚片总自由度数减总约束数m---刚片数h---单铰数r---单链杆数（支座链杆）W=3m-(2h+r)20常见的仅由全铰结点、链杆和支杆组成的体系，称为铰结链杆体系。这类特定体系的计算自由度也可采用以下更为简捷的公式计算2()Wjbrj---结点个数b---单链杆数r---支座链杆21【例1】试求图示铰结链杆体系的计算自由度。【解】在图2.13中，用j1~j8表示体系中的各个全铰，因此j=8。在链杆和支杆旁，分别用数字与b或r的组合来表示链杆和支杆的个数，因此b=13、r=3。最终该体系的计算自由度为28(133)0Wr21rj1j2j3j45j6jj78jb11b1bb11bb11b1bb11bb1b11b22【例2】：计算图示体系的自由度W=3×8-(2×10+4)=0ACCDBCEEFCFDFDGFG32311有几个单铰？有几个刚片？有几个支座链杆？23【例3】：计算图示体系的自由度按刚片计算3321129根杆,9个刚片有几个单铰？3根支座链杆按铰结链杆计算W=2×6-(9+3)=0241①2②3例4：计算图示体系的自由度4,2,3rhm1)422(33)2(3rhmw解:25解:j=9,b=15,r=30315922rbjW例5：计算图示体系的自由度26【例6】试求图2.12所示体系的计算自由度。m1m2m3m45mm6m97m8mh11g2hg2g1h2h11h2r1r【解】在图2.12中，用m1~m9代表组成该体系的各刚片，因此刚片总数m=9。在各结点处，标明其等效的单刚结点（用g表示）或单铰（用h表示）的个数，用g或h前的数字表示，因此g=4，h=7。在各支座处，标明其等效的支杆个数，用r前的数字表示，因此r=3。最终该体系的计算自由度由式（2-4）计算为39(34273)2W图2.12练习题：计算自由度Ｗ＝３×７－（２×９＋3）＝０m＝7h＝9b＝３j=8b=12+4Ｗ＝２×8－12－4＝028计算自由度W与几何组成性质之间的关系0(a)W0(b)WW0，表明体系缺少必要的约束装置，一定为几何可变体系。W=0且几何不变(b)W=0且几何可变(a)W=0，表明体系已具备必要的约束装置，但若约束布置不合理，有可能为几何可变(a)W0且几何不变(b)0且几何可变WW0，表明体系具备多余的约束装置，但若约束布置不合理，有可能为几何可变体系为几何不变体系除满足约束个数，尚须约束的合理布置。294.平面几何不变体系的基本组成规则(b)二元体规则(c)两刚片规则表述一(a)总规则(d)两刚片规则表述一(e)三刚片规则ABⅠABC①②③③②③③ⅠⅡⅡⅠ④⑤ⅠⅡⅢBACABCCABC≠几何不变体系的总规则和基本组成规则304.1讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。1.一个点与一个刚片之间的组成方式IIIIIIIIIIIIII一个点与一个刚片之间用两根链杆相连,且三铰不在一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。2.两个刚片之间的组成方式两个刚片之间用一个铰和一根链杆相连,且三铰不在一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系.或两个刚片之间用三根链杆相连,且三根链杆不交于一点,则组成无多余约束的几何不变体系。3.三个刚片之间的组成方式三个刚片之间用三个铰两两相连,且三个铰不在一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。三角形规律311.二元体规则I在体系中添加或去掉二元体，不会改变体系的几何性质和多余约束数。2.两刚片规则IIIAIIIA(∞)III表述一：平面上的两个刚片通过一铰和一链杆相连，如果链杆所在直线不通过铰心，则组成无多余约束的几何不变体系表述二：平面上的两个刚片通过三根链杆相连，如果这些链杆不全平行且所在直线不全交于一点，则组成内部几何不变且无多余约束的体系。323.三刚片规则IIIIII三个刚片用三个不共线的绞两两相连，所得的体系为无多余约束几何不变体系。规律1.点与刚片两杆连，二杆不共线AB规律2.两个刚片铰、杆连，铰不过杆规律3.三个刚片三铰连，三铰不共线规律4.两个刚片三杆连，三杆不共点ABCBABA组成没有多余约束的几何不变体系注1：四个规律只是相互之间变相，终归为三角形稳定性固定一点（1）从基础出发，由近及远，由小到大固定一刚片固定两刚片4.2利用组成规律可以两种方式构造一般的结构：3637若上部体系与基础由不交于一点的三杆相连，可去掉基础只分析上部体系（2）从内部刚片出发构造从刚片出发，由内及外，内外联合形成整体体系。（3）从规律出发，由内及外，内外联合形成整体体系。铰杆代替利用虚铰39例如三铰拱大地、AC、BC为刚片;A、B、C为单铰无多余几何不变40减二元体简化分析加二元体组成结构41加、减二元体无多几何不变42试分析图示体系的几何组成。有虚铰吗？有二元体吗？是什么体系？无多余几何不变没有有43ABCDEFABCDEFACDBEABCDEF例1.1,2.2,3.1,3例2.例3无多余约束的几何不变体系几何瞬变体系454.3几何可变体系2.4.1几何常变体系和几何瞬变体系PFBAC1All1APF(a)原体系(b)A结点隔离体NFFN现分析瞬变体系的受力特点。取A结点为隔离体，如图2.24(b)所示。由竖向投影平衡得，即由于微小转角q→0，所以FN→∞。这表明，该几何瞬变体系在有限外力的作用下，将产生无穷大的内力，这会导致体系迅速破坏，因此，几何瞬变体系不能作为结构。PN2sinFFPN2sinFF图2.24464.4几何可变体系同几何组成规则之间的关系1）不满足二元体规则的约束条件若计划用于组成二元体的两链杆共线（或称这两链杆夹角为p），则这两链杆组成的装置不能再称作二元体，同时，也就不能在体系中增删这样的装置。2）不满足二刚片规则的约束条件对表述一，若链杆所在直线过铰心，将导致体系几何瞬变，如图2.25所示。Ⅰ①ABC图2.25不满足二刚片规则表述一的几何瞬变体系47对表述二，可分为图2.26所示的两类四种情况来讨论：（1）三根链杆常交一点，则体系几何常变，如图2.26(a)、(b)，其中图2.26(b)中三根链杆全部平行且等长。（2）三根链杆瞬交一点，则体系几何瞬变，如图2.26(c)、(d)，其中图2.26(d)中三根链杆全部平行但不全等长ⅠⅡ(a)几何常变体系(b)几何常变体系ⅡⅠ[Ⅰ,Ⅱ](c)几何瞬变体系(d)几何瞬变体系ⅡⅠⅠⅡ123图2.26不满足二刚片规则表述二的几何可变体系483）不满足三刚片规则的约束条件如果三铰共线，且全是有限远铰，则体系几何瞬变，如图2.27所示。ⅠⅡⅢ(a)三实铰共线(b)一虚铰与两实铰共线ⅠⅢⅡ(c)两虚铰与一实铰共线ⅠⅢⅡ图2.27三个有限远铰共线形成的几何瞬变体系49(b)几何瞬变体系(d)几何常变体系(c)几何瞬变体系∞(a)几何瞬变体系图2.28一些常见的含无穷远虚铰的几何可变体系504.5几何组成分析的一般步骤第1步：求体系的计算自由度W。如果W0，则体系必为几何常变体系。若W≤0，还需按以下步骤进行分析，以确定体系是否几何不变。本步骤一般可略去。第2步：简化体系。常采取以下简化方法：若整体中有二元体，则可依次去除；检查体系是否简支支承；将只通过两个铰与体系其余部分相连的刚片等效为链杆。第3步：选取刚片。从简化后的体系内部选取合理的刚片，这些刚片应符合几何组成规则的要求。第4步：应用组成规则判定简化后的体系的几何组成性质，其结果也就是原体系的几何组