函数的性质的高考试题汇编

优秀学习资料欢迎下载函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性一、选择题1.(2013·福建高考文科·T5)函数2ln1fxx的图像大致是()【解题指南】f(x)的定义域为R,通过奇偶性,单调性进行筛选或带特殊点计算.【解析】选A.22ln(1)ln(1)fxxxfx,所以fx的图象关于y轴对称,又x∈(0,+∞)时,fx是增函数.且过点(0,0).2.（2013·辽宁高考理科·Ｔ11）【备注：（2013·辽宁高考文科·Ｔ12）与此题干相同，选项顺序不同】已知函数2222()2(2),()2(2)8,fxxaxagxxaxa设12()max(),(),()min(),()HxfxgxHxfxgx（max,pq表示,pq中的较大值，min,pq表示,pq中的较小值）记1()Hx的最小值为A,2()Hx的最大值为B,则AB（）22.16.16.216.216ABCaaDaa【解题指南】搞清楚12()max(),(),()min(),()HxfxgxHxfxgx的确切含义。数形结合解决问题。【解析】选B.优秀学习资料欢迎下载1(),()(),()max(),()(),()().fxfxgxHxfxgxgxfxgx2(),()(),()min(),()(),()().fxfxgxHxfxgxgxfxgx由2222()()2(2)2(2)8,fxgxxaxaxaxa解得122,2.xaxa而函数2222()2(2),()2(2)8,fxxaxagxxaxa的图像的对称轴恰好分别为2,2.xaxa可见二者图像的交点正好在它们的顶点处。如图1所示，结合1(),()(),()max(),()(),()().fxfxgxHxfxgxgxfxgx2(),()(),()min(),()(),()().fxfxgxHxfxgxgxfxgx可知12(),()HxHx的图像分别如图2，图3所示（图中实线部分）可见，1min()(2)44AHxfaa，2max()(2)124.BHxgaa从而16.AB3.（2013·湖南高考文科·Ｔ4）已知f（x）是奇函数，g（x）是偶2xa2xa()gx()fx图1优秀学习资料欢迎下载函数，且f（－1）+g（1）=2，f（1）+g（－1）=4，则g（1）等于（）A.4B.3C.2D.1【解题指南】结合函数的奇偶性定义)()(),()(xgxgxfxf即可。【解析】选B，因为)1()1(),1()1(ggff，代入条件等式再相加，得3)1(g4.（2013·北京高考文科·Ｔ3）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是()A.y=1xB.y=e-xC.y=-x2+1D.y=lg∣x∣【解析】选C.根据在区间(0,+∞)上单调递减排除D,根据奇偶性排除A,B.5.（2013·广东高考理科·Ｔ2）定义域为R的四个函数32,2,1,2sinxyxyyxyx中，奇函数的个数是（）A.4B.3C.2D.1【解题指南】四个函数的定义域R关于原点对称，因此按照定义逐一验证奇偶性即可.【解析】选C.3,2sinyxyx是奇函数，21yx是偶函数，2xy是非奇非偶函数.6.（2013·湖北高考文科·Ｔ8）x为实数，[]x表示不超过x的最大整数，则函数()[]fxxx在R上为()A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期优秀学习资料欢迎下载函数【解题指南】画出图象求解.【解析】选D.由图象可知选D.7.（2013·湖北高考文科·Ｔ10）已知函数()(ln)fxxxax有两个极值点，则实数a的取值范围是()A．(,0)B．1(0,)2C．(0,1)D．(0,)【解题指南】利用导数求极值,转化为两个函数交点的问题.【解析】选B.令()fx=lnx-2ax+1=0,则lnx=2ax-1有两解,即函数y=lnx与y=2ax-1有两个交点,直线是曲线y=lnx的割线;y=2ax-1恒过点A(0,-1),设过A(0,-1)点的直线与y=lnx的切点为M,则k=01x,y-lnx0=001()xxx,-1-lnx0=001()xx,所以x0=1,k=1,所以02a1,0a12,8.（2013·山东高考文科·Ｔ3）与（2013·山东高考理科·Ｔ3）相同已知函数f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=x2+x1,则f(-1)=()A.-2B.0C.1D.2【解题指南】本题可利用函数为奇函数f(-1)=-f(1)，再利用当x0时,f(x)=x2+x1即可求得结果.【解析】选A.因为函数f(x)为奇函数，所以f(-1)=-f(1)，又因为当优秀学习资料欢迎下载x0时,f(x)=x2+x1，所以11112f=2，f(-1)=-f(1)=-2.9.（2013·天津高考文科·Ｔ7）已知函数()fx是定义在R上的偶函数,且在区间[0,)单调递增.若实数a满足212(log)(log)2(1)faffa,则a的取值范围是（）A.[1,2]B.10,2C.1,22D.(0,2]【解题指南】根据对数的运算性质和函数的奇偶性，将条件212(log)(log)2(1)faffa化为2(1(log))faf，再结合单调性转化为2log1a求解.【解析】选C.根据对数的运算性质和函数的奇偶性可知1222(log)loglogfafafa，因此212(log)(log)2(1)faffa可化为2(1(log))faf，又因为函数()fx是定义在R上的偶函数,且在区间[0,)单调递增，故2log1a，解得12.2a10.（2013·重庆高考文科·Ｔ9）已知函数3()sin4(,)fxaxbxabR，2(lg(log10))5f，则(lg(lg2))fA.5B.1C.3D.4【解题指南】根据函数的奇偶性求解.【解析】选C.因为)2lg(lg2lg11)10lg(log2g54))2lg(lgsin())2lg(lg())2lg(lg())10(lg(log32baff所以1))2lg(lgsin())2lg(lg(3ba所以3414))2sin(lg(lg))2(lg(lg))2(lg(lg3baf.二、填空题11.（2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ13）优秀学习资料欢迎下载21,3=fxxfx是以为周期的函数，且当时，2x，则)1(f.【解题指南】根据函数周期为2T，得)2()(xfxf，从而将)1(f的函数值转化为求)1(f的值.【解析】因为2T，则)2()(xfxf，又)1()21()1(fff，因为)3,1[x时，2)(xxf，所以121)1(f.【答案】112.（2013·北京高考文科·Ｔ13）函数f（x）=12log,12,1xxxx的值域为_________.【解题指南】分别求出每段的值域，再取并集。【解析】当1x时，12log0x；当1x时，22x.因此，值域为(,2)。【答案】(,2)13.（2013·四川高考理科·Ｔ14）已知()fx是定义域为R的偶函数，当x≥0时，2()4fxxx，那么，不等式(2)5fx的解集是________．【解析】依据已知条件求出y=f(x),x∈R的解析式,再借助y=f(x)的图象求解.设x0,则-x0.当x≥0时,f(x)=x2-4x,所以f(-x)=(-x)2-4(-x).因为f(x)是定义在R上的偶函数,得f(-x)=f(x),优秀学习资料欢迎下载所以f(x)=x2+4x(x0),故224,0()4,0xxxfxxxx由f(x)=5得22454500xxxxxx或，得x=5或x=-5.观察图象可知由f(x)5,得-5x5.所以由f(x+2)5,得-5x+25,所以-7x3.故不等式f(x+2)5的解集是{x|-7x3}.【答案】{x|-7x3}14.（2013·上海高考理科·T12）设a为实常数，()yfx是定义在R上的奇函数，当0x时，2()97afxxx，若()1fxa对一切0x成立，则a的取值范围为________【解析】(0)0f，故011aa；当0x时，2()971afxxax即6||8aa，又1a，故87a．【答案】87a三、解答题15.（2013·江西高考理科·Ｔ21）已知函数1f(x)a(12|x|)2，a为常数且a＞0.优秀学习资料欢迎下载（1）证明：函数f（x）的图像关于直线1x2对称；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则x0称为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；（3）对于（2）中的x1，x2，和a，设x3为函数f（f（x））的最大值点，A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（x3，0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性.【解题指南】（1）要证函数f（x）的图像关于直线1x2对称，只需证明11f(x)f(x)22即可.（2）分10a2、1a2、1a2三种情况求f(f(x))的解析式，根据函数f（x）的二阶周期点的定义求解；（3）求x3，由（2）求出的x1，x2可得S（a），借助导数研究函数的单调性.【解析】（1）因为1f(x)a(12|x|)2，1f(x)a(12|x|)2，即11f(x)f(x)22.所以函数f(x)的图像关于直线1x2对称.(2)当10a2时，有2214ax,x,2f(f(x))14a(1x),x.2所以f(f(x))x只有一个解x=0，又f(0)0,故0不是二阶周期点.当1a2时，有1x,x,2f(f(x))11x,x.2所以f(f(x))x有解集1x|x2，又当1x2时，f（x）=x，故1x|x2中的所有点都不是二阶周期点.优秀学习资料欢迎下载当1a2时，有2222214ax,x,4a112a4ax,x,4a2f(f(x))14a12a(12a)4ax,x,24a4a14a4ax,x.4a所以f(f(x))x有四个解0，2222a2a4a,,14a12a14a，又f(0)0,2a2af()12a12a，222a2af()14a14a，22224a4af()14a14a，故只有2222a4a,14a14a是f(x)的二阶周期点.综上所述，所求a的范围为1a.2（3）由（2）得212222a4ax,x14a14a，因为3x为函数f(f(x))的最大值点，所以31x4a或34a1x4a.当31x4a时，22a1S(a)4(14a)，因为2212122(a)(a)22S(a)(14a)，所以当112a(,)22时，S(a)单调递增，当12a(,)2时，S(a)单调递减；当34a1x4a时，228a6a1S(a)4(14a)，求导得：22212a4a3S(a)2(14a)，因为1a2，从而有22212a4a3S(a)02(14a)，所以当1a(,)2时，S(a)单调递增.