高斯定理

简析高斯定理在电场中的应用高斯定理是静电学中的一个重要定理,它反映了静电场的一个基本性质,即静电场是有源场,其源即是电荷。可表述为:在静电场中,通过任意闭合曲面的电通量,等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的1/倍,与闭合曲面外的电荷无关。表达式为01()1/niiSEdsq（1）高斯定理是用来求场强�E分布,定理中,S是任意曲面,由于数学水平的限制,要由高斯定理计算出E,则对由场的分布有一定的要求,即电荷分布具有严格的对称性(若电荷分布不对称性即不是均匀的,引起电场分布不对称,不能从高斯定理求空间场强分布,高斯定理当然仍是成立的),由于电荷分布的对称性导致场强分布的对称性,场强分布的对称性应包括大小和方向两个方面。典型情况有三种:1)球对称性,如点电荷,均匀带电球面或球体等;2)轴对称性,如无限长均匀带电直线,无限长均匀带电圆柱或圆柱面,无限长均匀带电同轴圆柱面3)面对称性,如均匀带电无限大平面或平板,或者若干均匀带电无限大平行平面。根据高斯定理计算场强时,必须先根据电荷分布的对称性,分析场强分布的对称性;再适当选取无厚度的几何面作为高斯面。选取的原则是:○1待求场强的场点必须在高斯面上;○2使高斯面的各个部分或者与E垂直,或者E平行;○3与E垂直的那部分高斯面上各点的场强应相等;○4高斯面的形状应是最简单的几何面。最后由高斯定理求出场强。高斯定理说明的是通过闭合曲面的电通量与闭合曲面所包围的所有电荷的代数和之间的关系,即闭合曲面的总场强E的电通量只与曲面所包围的电荷有关,但与曲面内电荷的分布无关。但闭合曲面上的电场强度却是与曲面内外所有电荷相联系的,是共同激发的结果。步骤：1．进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）；2．根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：①待求场强的场点应在此高斯面上，②穿过该高斯面的电通量容易计算。一般地，高斯面各面元的法线矢量n与E平行或垂直，n与E平行时，E的大小要求处处相等，使得E能提到积分号外面；3．计算电通量SdE和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯定理求出场强。应该指出，在某些情况下（对称），应用高斯定理是比较简单的，但一般情况下，以点电荷场强公式和叠加原理以相互补充，还有其它的方法，应根据具体情况选用。利用高斯定理，可简洁地求得具有对称性的带电体场源（如球型、圆柱形、无限长和无限大平板型等）的空间场强分布。计算的关键在于选取合适的闭合曲面——高斯面。典型例题：例题1、设一块均匀带正电无限大平面，电荷密度为=9.3×10-8C/m2，放置在真空中，求空间任一点的场强.解：根据电荷的分布情况，可作如下判断：(1)电荷均匀分布在均匀带电无限大平面上，我们知道孤立正的点电荷的电场是以电荷为中心，沿各个方向在空间向外的直线，因此空间任一点的场强只在与平面垂直向外的方向上(如果带负电荷，电场方向相反)，其他方向上的电场相互抵消；(2)在平行于带电平面的某一平面上各点的场强相等；(3)带电面右半空间的场强与左半空间的场强，对带电平面是对称的.为了计算右方一点A的场强，在左取它的对称点B，以AB为轴线作一圆柱，如图所示.对圆柱表面用高斯定理，seeeqdsE0两个底面侧面(1)0侧e(2)ESe2两个底面(3)圆柱内的电荷量为Sq(4)把(2)、(3)、(4)代入(1)得02E=1281085.82103.9V/m=5.25×103V/m例题2、设有一根无限长块均匀带正电直线，电荷线密度为=5.0×10-9C/m，放置在真空中，求空间距直线1m处任一点的场强.解：根据电荷的分布情况，可作如下判断：(1)电荷均匀分布在无限长块均匀直线上，我们知道孤立正的点电荷的电场是以电荷为中心，沿各个方向在空间向外的直线，因此空间任一点的场强只在与直线垂直向外的方向上存在(如果带负电荷，电场方向相反)，其他方向上的电场相互抵消；(2)以直线为轴线的圆柱面上各点的场强数值相等，方向垂直于柱面(如图).根据场强的分布，我们以直线为轴作长为l，半径为r的圆柱体.把圆柱体的表面作为高斯面，对圆柱表面用高斯定理：seeeqdsE0两个底面侧面(1)rlEESe2侧侧(2)0两个底面e(3)圆柱内的电荷量为lq(4)把(2)、(3)、(4)代入(1)得rE02=11085.814.32100.5129V/m=89.96V/m例题3、设有一半径为R的均匀带正电球面，电荷为q，放置在真空中，求空间任一点的场强.解：由于电荷均匀分布在球面上,因此,空间任一点P的的场强具有对称性,方向由球心O到P的径矢方向(如果带负电荷，电场方向相反)，在与带电球面同心的球面上各点E的大小相等.根据场强的分布，我们取一半径为r且与带电球面同系同心的球面为为高斯面，如图所示.若Rr，高斯面2S在球壳内，对球面2S用高斯定理得seqrEdsE024球内因为球壳内无电荷，0q，所以0球内E若Rr，高斯面1S在球壳外，对球面1S用高斯定理得qq，故有024qER204rqE由此可知，均匀带电球面内的场强为零，球面外的场强与电荷集中在球心的点电荷所产生的场强相同.例题4、均匀带电球壳的场强。设有一半径为R、均匀带电为Q的薄球壳。求球壳内部和外部任意点的电场强度。解：因为球壳很薄，其厚度可忽略不计，电荷Q近似认为均匀分布在球面上。由于电荷分布是球对称的，所以电场强度的分布也是球对称的。因此在电场强度的空间中任意点的电场强度的方向沿径矢，大小则依赖于从球心到场点的距离。即在同一球面上的各点的电场强度的大小是相等的。以球心到场点的距离为半径作一球面，则通过此球面的电通量为ErdSESdESSe24根据高斯定理，通过球面的电通量为球面内包围的电荷0qe当场点在球壳外时Qq电场强度为204rQE＝当场点在球壳内时0q电场强度为0＝E例题5、均匀带电球体的场强。设有一半径为R、均匀带电为Q的球体。求球体内部和外部任意点的电场强度。解：由于电荷分布是球对称的，所以电场强度的分布也是球对称的。因此在电场强度的空间中任意点的电场强度的方向沿径矢，大小则依赖于从球心到场点的距离。即在同一球面上的各点的电场强度的大小是相等的。以球心到场点的距离为半径作一球面，则通过此球面的电通量为ErdSESdESSe24根据高斯定理，通过球面的电通量为球面内包围的电荷0qe当场点在球体外时Qq电场强度为204rQE＝当场点在球体内时33333434RQrrRQq电场强度为304RQrE＝例题6、无限长均匀带电直线的场强。设有一无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线密度为λ，求距离直线为r处的电场强度。解：由于带电直线无限长，且电荷均匀分布，所以电场的场强沿垂直于该直线的径矢方向，而且在距直线等距离的各点的场强的大小相等，即电场分布是柱对称的。以该直线为轴线作一圆柱面为高斯面，长为h，半径为r。由于场强与上下底面的法线垂直，所以通过圆柱的上下两个底面的电通量为零，而通过圆柱侧面的电场强度的通量为rhE2。又此高斯面所包围的电量为h，所以根据高斯定理有0/2hrhE由此可知，电场强度为rE02例题7、无限长均匀带电平面的场强。设有一无限长均匀带电平板，单位面积上的电荷，即电荷面密度为σ，求距离平板为r处的电场强度。解：由于带电平板无限长，且电荷均匀分布，所以带电平板两侧电场的分布具有对称性，所以场强沿垂直于该平面，而且在距平面等距离的各点的场强的大小相等。作圆柱面为高斯面，此圆柱面穿过带电平面，且对带电平面是对称的。其侧面的法线方向与场强垂直，而通过圆柱侧面的电场强度的通量为零；由于场强与两个底面垂直，所以通过圆柱的两个底面的电通量为ES。又此高斯面所包围的电量为σS，所以根据高斯定理有0/2SES由此可知，电场强度为02E即无限大均匀带电平面的场强与场点到平面的距离无关，而且场强的方向与带电平面垂直。无限大带电平面的电场是匀强电场。小结：高斯定理在电场中的一般应用步骤:（1）根据电荷分布的对称性分析电场分布的对称性。（2）在待求区域选取合适的封闭积分曲面（称为高斯面）。要求：曲面必须通过待求场强的点，曲面要简单易计算面积；面上或某部分曲面上各点的场强大小相等；且面上或某部分曲面上各点的法线与该处的E方向一致或垂直或是成恒定角度，以便于计算。（3）应用高斯定理求解出E的大小。(sseqdsE0)(内).（4）说明E的方向。