钢管切割问题

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：29所属学校（请填写完整的全名）：山东理工大学参赛队员(打印并签名)：1.魏业2.陈军3.郭凤娇指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：丁树江日期：2010年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：-1-钢管切割问题摘要关键词：一、问题重述二、基本假设三、符号说明iiiirrrr4321、、、:分别表示一根钢管上切割长度为290mm、315mm、350mm、455mm钢管的数目ix：按第i种模式切割的原料钢管根数（111i）四、问题的分析首先要确定采用哪些切割模式。所谓切割模式，是指按照顾客要求的长度在原料钢管上安排切割的一种组合。例如，我们可以将1850mm的钢管切割成6根长290mm的钢管，余料为110mm；或者将长1850mm的钢管切割成长290mm、455mm和315mm的钢管各1根和350mm的钢管2根，余料为84mm。显然，可行的切割模式是很多的。其次，应当明确哪些切割模式是合理的。合理的切割模式通常还假设余料不应超过100mm，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品）。则切割模式的约束条件为：518504553503152901750dcbadcba（4-1）于是问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪几种合理的模式，每种模式切割多少根原料钢管最为节省。五、模型的建立与求解经过简单的计算可知，合理的切割模式一共有7种，如表1所示。表1钢管下料的合理切割模式模式290mm315mm350mm455mm余料/mm1005010020004303103155420121050131306112190-2-702216580311100903111001021025511300270而所谓节省，可以有两种标准，一是切割后剩余的总余料量最小，总余量：111098765432117055100100659030105530100xxxxxxxxxxxMinZ（5-1）二是切割原料钢管的总根数最少。总根数：1110987654321xxxxxxxxxxxMinZ（5-2）在选择切割模式的时候受到以下条件的约束：（1）所使用的切割模式的种类不能超过4种。（2）使用频率最高的一种切割模式按照一个原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推。约束条件，满足：30212815444343242141434333232131424323222121414313212111xrxrxrxrxrxrxrxrxrxrxrxrxrxrxrxr（5-3）模式合理约束（每根余料不超过100mm）：1850455350315290175018504553503152901750185045535031529017501850455350315290175044342414433323134232221241312111rrrrrrrrrrrrrrrr(5-4)整数约束：)3,2,1(4321irrrrxiiiii、、、、为整数。每根钢管长度为1850mm，可以求得所需要的钢管数目下界为：19185030455213502831515290选择的模式数量大小约束：4321xxxx（5-4）用lingo进行求解得到如下结果：VariableValueX112.00000X24.000000X33.000000X40.000000R111.000000R120.000000R131.000000-3-R212.000000R221.000000R230.000000R310.000000R323.000000R333.000000R412.000000R421.000000R431.000000R140.000000R240.000000R345.000000R440.000000模式一：290mm钢管1根、315mm钢管2根和455mm钢管2根，需要12根模式二；315mm钢管1根、350mm钢管3根和455mm钢管1根，需要4根模式三；290mm钢管1根、350mm钢管3根和455mm钢管1根，需要3根六、模型的评价与改进七、参考文献八、附录Lingo求解代码：min=x1+x2+x3+x4;r11*x1+r12*x2+r13*x3=15;r21*x1+r22*x2+r23*x3=28;r31*x1+r32*x2+r33*x3=21;r41*x1+r42*x2+r43*x3=30;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41=1850;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42=1850;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43=1850;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44=1850;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41=1750;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42=1750;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43=1750;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44=1750;x1+x2+x3+x4=19;x1+x2+x3=25;-4-x1=x2;x2=x3;x3=x4;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);@gin(r14);@gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);@gin(r24);@gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);@gin(r34);@gin(r41);@gin(r42);@gin(r43);@gin(r44);end