导数及其应用.知识框架

1要求层次重难点导数及其应用导数概念及其几何意义导数的概念A了解导数概念的实际背景；理解导数的几何意义．导数的几何意义C导数的运算根据导数定义求函数yc，yx，2yx，3yx，1yx，yx的导数C能根据导数定义，求函数23ycyxyxyx，，，，1yyxx，（c为常数）的导数．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如()faxb的复合函数）的导数．导数的四则运算C简单的复合函数（仅限于形如()faxb）的导数）B导数公式表C导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次）C了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）．会利用导数解决某些实际问题．函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）C利用导数解决某些实际问题B定积分与微积分基本定理定积分的概念A了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．微积分基本定理A高考要求模块框架导数及其应用2了解微积分基本定理的含义．一、导数的概念与几何意义1．函数的平均变化率：一般地，已知函数()yfx，0x，1x是其定义域内不同的两点，记10xxx，10yyy10()()fxfx00()()fxxfx，则当0x时，商00()()fxxfxyxx称作函数()yfx在区间00[,]xxx（或00[,]xxx）的平均变化率．注：这里x，y可为正值，也可为负值．但0x，y可以为0．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数()yfx在0x附近有定义，当自变量在0xx附近改变量为x时，函数值相应的改变00()()yfxxfx．如果当x趋近于0时，平均变化率00()()fxxfxyxx趋近于一个常数l（也就是说平均变化率与某个常数l的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l称为函数()fx在点0x的瞬时变化率．“当x趋近于零时，00()()fxxfxx趋近于常数l”可以用符号“”记作：“当0x时，00()()fxxfxlx”，或记作“000()()limxfxxfxlx”，符号“”读作“趋近于”．函数在0x的瞬时变化率，通常称为()fx在0xx处的导数，并记作0()fx．这时又称()fx在0xx处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x时，000()()()fxxfxfxx”或“0000()()lim()xfxxfxfxx”．3．可导与导函数：如果()fx在开区间(,)ab内每一点都是可导的，则称()fx在区间(,)ab可导．这样，对开区间(,)ab内每个值x，都对应一个确定的导数()fx．于是，在区间(,)ab内，()fx构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()yfx的导函数．记为()fx或y（或xy）．导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．4.导数的几何意义：设函数()yfx的图象如图所示．AB为过点00(,())Axfx与00(,())Bxxfxx的一条割线．由此割线的斜率是00()()fxxfxyxx，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线过点A的切线，即000()()limxfxxfxx切线AD的斜率．由导数意义可知，曲线()yfx过点00(,())xfx的切线的斜率等于0()fx．知识内容x0xyxODCBA3二、导数的运算1．初等函数的导数公式表()yfx()yfxyc0ynyx()nN1nynx，n为正整数yx(0,0,)Q1yx，为有理数xya(0,1)aalnxyaalogayx(0,1,0)aax1lnyxasinyxcosyxcosyxsinyx注：lnlogeaa，称为a的自然对数，其底为e，e是一个和π一样重要的无理数2.7182818284e．注意()xxee．2．导数的四则运算法则：⑴函数和（或差）的求导法则：设()fx，()gx是可导的，则(()())()()fxgxfxgx，即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）．⑵函数积的求导法则：设()fx，()gx是可导的，则[()()]()()()()fxgxfxgxfxgx，即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．由上述法则即可以得出[()]()CfxCfx，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数．⑶函数的商的求导法则：设()fx，()gx是可导的，()0gx，则2()()()()()()()fxgxfxfxgxgxgx．特别是当()1fx时，有21()()()gxgxgx．三、导数的应用1．利用导数判断函数的单调性的方法：如果函数()yfx在x的某个开区间内，总有()0fx，则()fx在这个区间上是增函数；如果函数()yfx在x的某个开区间内，总有()0fx，则()fx在这个区间上是减函数．2．利用导数研究函数的极值：已知函数()yfx，设0x是定义域内任一点，如果对0x附近的所有点x，都有0()()fxfx，则称函数()fx在点0x处取极大值，记作0()yfx极大．并把0x称为函数()fx的一个极大值点．如果在0x附近都有0()()fxfx，则称函数()fx在点0x处取极小值，记作0()yfx极小．并把0x称为函数()fx的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点．4（二）主要方法：1．求函数()yfx的极值的方法：第1步求导数()fx；第2步求方程()0fx的所有实数根；第3步考察在每个根0x附近，从左到右，导函数()fx的符号如何变化．如果()fx的符号由正变负，则0()fx是极大值；如果由负变正，则0()fx是极小值．如果在()0fx的根0xx的左右侧，()fx的符号不变，则0()fx不是极值．2．函数()fx的最大（小）值是函数在指定区间的最大（小）的值．求函数最大（小）值的方法：第1步求()fx在指定区间内所有使()0fx的点；第2步计算函数()fx在区间内使()0fx的所有点和区间端点的函数值，其中最大的为最大值，最小的为最小值．四、导数与其它知识综合1．导数与函数的性质、基本初等函数的结合，这是导数的最主要的考查内容；2．导数与数列的结合，要注意数列作为函数的特殊性；3．导数与三角函数的结合；4．导数在不等式的证明中的运用，经常需要构造函数，利用导数去求单调性，证明不等式．五、微积分与定积分基本定理1．函数定积分：设函数()yfx定义在区间[,]ab上．用分点0121nnaxxxxxb，把区间[,]ab分为n个小区间，其长度依次为10121iiixxxin，，，，，．记为这些小区间长度的最大值，当趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0．在每个小区间内任取一点i，作和式10()nniiiIfx．当0时，如果和式的极限存在，我们把和式nI的极限叫做函数()fx在区间[,]ab上的定积分，记作()bafxdx，即100()lim()nbiiaifxdxfx．其中()fx叫做被积函数，a叫积分下限，b叫积分上限．()fxdx叫做被积式．此时称函数()fx在区间[,]ab上可积．2．曲边梯形：曲线与平行于y轴的直线和x轴所围成的图形，通常称为曲边梯形．根据定积分的定义，曲边梯形的面积S等于其曲边所对应的函数()yfx在区间[]ab，上的定积分，即()baSfxdx．求曲边梯形面积的四个步骤：第一步：分割．在区间ab，中插入1n各分点，将它们等分成n个小区间1iixx，12in，，，，区间1iixx，的长度1iiixxx，第二步：近似代替，“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．y=f(x)Oyxba5第三步：求和．第四步：取极限．3．求积分与求导数互为逆运算．()()()baFxdxFbFa，即()Fx从a到b的积分等于()Fx在两端点的取值之差．4．微积分基本定理如果()()Fxfx，且()fx在[,]ab上可积，则()()()bafxdxFbFa，其中()Fx叫做()fx的一个原函数．由于[()]()Fxcfx，()Fxc也是()fx的原函数，其中c为常数．一般地，原函数在[,]ab上的改变量()()FbFa简记作()baFx，因此，微积分基本定理可以写成形式：()()()()bbaafxdxFxFbFa．