随机过程-习题-第4章-01

随机过程习题第4章4-14.1设有一泊松过程0,ttN，求：（1）2211,ktNktNP，用21tt、的函数表示之；（2）该过程的均值和相关函数。问该过程是否为平稳过程？(1)解：首先，1111222211)()()()(,)(ktNPktNktNPktNktNP根据泊松过程的独立增量性质可知)(1212121211221212!)()]([)()()(ttkkekkttkkttNPktNktNP于是，21122!)(!)()(,)(1211122211tkkkkekkktttktNktNP(2)解：该过程的均值为tktteektktNEkktktk110!1!)()(根据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为(12tt))]([)]()([)]([)()()()()()(12121112121tNEtNtNEtNEtNtNtNtNEtNtNE其中，)()]()([1212tttNtNE121212)]([tttNE于是，12tt时的相关函数为12121212121221)()()(tttttttttNtNE同理可得21tt时的相关函数为221221)()(ttttNtNE随机过程习题第4章4-2所以，泊松过程的相关函数为2121221,min)()(tttttNtNE所以，泊松过程过程不是平稳过程。4.2设有一个最一般概念的随机电报信号{)(t}，它的定义如下：（1）)0(是正态分布的随机变量),0(2N；（2）时间内出现电报脉冲的个数服从泊松分布，即ekkPk!)(},{(k=1,2,…)（3）不同时间的电报脉冲幅度服从正态分布N(0,2)，这个脉冲幅度延伸到下一个电报脉冲出现时保持不变，不同电报脉冲幅度的取值是相互统计独立的，同一电报脉冲内幅度是不变的。（4）不同时间间隔内出现电报脉冲的个数是相互统计独立的。它的样本函数如图4-2。图4-2(1)试求它的二元概率密度。(2)试问该过程是否平稳？(1)解：设t1t2，t1和t2时刻的脉冲幅度之间的关系有两种情况：①t1和t2处于同一脉冲内；②t1，和t2不处于同一脉冲内。对于情况②，由于不同脉冲内的幅度取值是相互统计独立的，因此两时刻的脉冲幅度间的联合概率密度函数为)()(2)(1)(21xfxftt(k)(t)0t随机过程习题第4章4-3其中，)(1)(1xft和)(2)(2xft分别是)(t在t1和t2时刻的概率密度函数。发生情况②的概率就是t1和t2两个时刻间的脉冲变化次数大于等于1的概率，即21121,1!)(}Pr{tteekttkk处于不同脉冲内和显然，t1和t2处于同一脉冲内的概率为e。在这种情况下，两时刻的脉冲幅度间的联合概率密度函数为)()(121)(1xxxft因此，t1和t2时刻的脉冲幅度的联合概率密度函数为)(2exp212exp21]1[),(12221)(222212)(21)()(121221xxxexxexxftttttt(2).由此可见该过程是平稳过程，并且可以推导其多维PDF也是只与各时刻间的间隔有关，因此是严平稳过程。4.3设1、2为独立同分布随机变量，且均匀分布于(0，1)上，又设有随机过程)(sin)(21tt求(1))(t均值；(2))(t的相关函数(1)解：由于1、2是独立的，因此)]([sin][)](sin[)]([2121tEEtEtE1、2都均匀分布于(0，1)上，所以21][1EttttEcos1d)(sin)]([sin10222于是，tttE2cos1)]([(2)相关函数为随机过程习题第4章4-4)](sin)([sin][)]()([22122121ttEEttE其中31][21E和212121211022122122212)sin()sin(21d)]}(cos[)]({cos[21)](sin)([sinttttttttttttttE所以，2121212121)sin()sin(61)]()([ttttttttttE4.4设)(t是实正态分布平稳随机过程，它的数学期望为0。如定义|)()(|)()(121)(ttttt试证明)(cos1)}({1ktE其中，2/)()(Ck，)(C代表)(t的协方差函数，)0(2C代表)(t的方差。证明：由给出的)(t定义式可知它有两种可能的取值，即0)()(,00)()(,1)(ttttt因为)(t是实正态平稳随机过程，且均值为0，所以联合正态分布为)1(22exp121),(222222)()(ryrxyxryxftt其中，)(/)(2kCr参考《概率随机变量和随机过程》（西安电子科技大学译本）之第226至229页可以随机过程习题第4章4-5得21}0)()({ttP21}0)()({ttP其中，rarcsin因此，)(t的均值为)]([cos1)arccos(121}0)()({0}0)()({1)}({1krttPttPtE4.5设有随机过程)(sin)(tzt，)(t。其中，,z是相互独立的随机变量，21}4{P，21}4{P，Z均匀分布于（-1，1）之间。试证明)(t是宽平稳随机过程，但)(t不满足严平稳的条件（不满足一级严平稳的条件）。证明：由Z均匀分布于（-1，1）之间得31][,0][2zEzE并且z和相互独立。所以，)(t的均值为0)]([sin][)]([tEzEtE)(t的相关函数为)(cos61)(cos)2(cos21)2(cos2161)(cos)2(cos2131)](sin)([sin][)]()(R[21122121122121221ttttttttttttEttEzEtt由此可见，)(t的均值为常数，相关函数只与时间差12tt有关。因此，随机过程)(t随机过程习题第4章4-6是宽平稳随机过程。证明严平稳可以用特征函数，)(t的一维特征函数为)4sin()]4sin(sin[)4sin()]4sin(sin[d2121d2121][21][21][11)4sin(11)4sin()4sin()4sin()sin(tjututjutuzezeeEeEeEtjuztjuztjuzZtjuzZtjuz与时间t有关(如下图所示)，因此)(t不是严平稳。4.6设z为随机变量，为另一随机变量，z与相互统计独立，均匀分布于)2,0(间；又设有随机过程)()sin()(ttzt其中为常数，0，试利用特征函数证明)(t是一严平稳随机过程。证明：因为特征函数能唯一地确定概率密度函数，若能证明)(t的k阶特征函数具有随机过程习题第4章4-7时移不变性，即),,,;,,,(),,,;,,,(21212121kkkktttuuutttuuu则其k维概率密度函数是时移不变的。如果对于任意k都成立，则该过程是严平稳的。该随机过程中包含z和两个随机变量，且z与相互统计独立。因此，其特征函数可以分两步求解。首先，令az，对求均值，然后再对z求均值。由于均匀分布于)2,0(间，即21)(f，于是dtaujaztujEikiiikii21)]sin(exp[})]({exp[2011令。则dtaujaztujEikiiikii21)]sin(exp[})]({exp[211上式中的被积函数是的周期函数，周期为2。因此，})]({exp[21)]sin(exp[})]({exp[12011aztujEdtaujaztujEikiiikiiikii所以，}})]({exp[{}})]({exp[{11ztujEEztujEEikiiZikiiZ即)]}({exp[)]}({exp[11ikiiikiitujEtujE由此可见，)(t的k阶特征函数具有时移不变性，即)(t为严平稳随机过程。4.7设有一相位调制的正弦信号，其复数表示式为随机过程习题第4章4-8)()())((tetttj其中，为常数，0，(t)是一个二级严平稳过程，设),(2121uutt是过程(t)的二维特征函数，即)]()([21221121),(tutujtteEuu同时对于任何，0)0,1(0。试证明过程(t)是宽平稳过程，并求它的相关函数),(21ttR。证明：首先，(t)的均值为0]0,1[]0,1[)}({,0,)(tjtttjtjtjeeeEetE(t)的相关函数为]1,1[})()({),(21212121,)()]()([)(2121ttttjttjttjeeEettEttR因为(t)是一个二级严平稳过程，所以)1,1(21,tt只与t1t2有关。因此，),(21ttR也只与t1t2有关，且其均值为常数，所以)(t是宽平稳随机过程。4.8设有一时间离散的马尔可夫过程)0,1,2,n)((n。)0(具有概率密度函数)(0)10(2)(0其它xxxf对于,32,1,n，当给定xn)1(时)(n的条件概率密度均匀分布于1),-(1x之间。问),1,2n)((n是否满足严平稳的条件？解：对于任意一个马尔可夫过程和任意m+1个取样点，它们的联合概率密度函数有如下性质101)|()(),,(miijijjmjjxxfxfxxf对于本题，其中的)|(1iixxf是不随时刻i变化的。若)(ixf也是与时刻i无关的，随机过程习题第4章4-9则),,(mjjxxf在时间轴上做任意平移时是不变的，那么该过程是严平稳的。因此，只需要证明)(jxf与时刻j无关。首先，)1(的概率密度函数为)10(,2d21)()|(111100|11yyxxxdxxfxyfyfyy由此可见，)1(的概率密度函数与)0(的概率密度函数相同。依此类推，可得)3,2,n)((n的概率密度函数也与)0(的概率密度函数相同，即)(n的概率密度函数不随时刻i变化。因此，取样点在时间轴上做任意平移时该过程的所有有限维分布函数是不变的，即)(n是严平稳过程。4.9设有两状态时间离散的马尔可夫链)(n(n=1,2,3,…..)，)(n可取0或1，它的一步转移矩阵为2211qppq其中，p1+q1=1,p2+q2=1212}0)0({pppP,211}1)0({pppP试证明该过程为严平稳过程。证明：