第四章转动参考系

Chapter4转动参考系质点在非惯性系中的运动规律。也就是研究参照系具有加速度时，如何描述质点的运动规律。转动参照系平动参照系非惯性系基本要求深刻理解转动参照系中相对运动、牵连运动、牵连加速度、科里奥利加速度、牵连惯性力、科里奥利力等基本概念，特别是科里奥利力产生的原因及实质；熟练掌握绝对速度、绝对加速度和相对运动微分方程及其应用。本章重点质点在转动参照系中相对运动微分方程的建立和求解。Chapter4转动参考系内容4.1平面转动参考系4.2空间转动参考系4.3非惯性系动力学(二)4.4地球自转产生的影响4.1平面转动参考系设平面转动参照系以角速度绕垂直于自身的轴转动，如图所示，在动系上取坐标系O—xyz，动系与静系原点O重合，z轴为转动轴，平面上任一点P的位矢为：SSrxiyjωk质点相对静止坐标系S的速度为：vvddidjxiyjxydtdtdt()()xyiyxjijjiddtddtvxiyj—相对速度，如P在平板上不动，此项速度为零。()yixjkxiyjωr——牵连速度是由于平板转动而带着P点一起转动所引起的相对静系的速度。vvr即绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和。提问：为什么这里的速度表达式与第三章中定点（或定轴）转动的速度表达式：比较多了？答：因为在刚体中，组成刚体的各个质点，都只随着刚体一起转动，它们与整个刚体并无所谓相对运动。vrv()()()()dvdidjaxyyiyxxjxyyxdtdtdt22(2)(2)xyxyiyxyxjxiyja———相对加速度1）为质点P对转动参照系的轴向加速度分量，它的合成：.xy2）是由于平板作变角速度转动所引起的切向加速度，如平板以匀角速度转动，则此项加速度为零。()yixjkxiyjωr现在求P点对静止坐标系S的加速度：3）沿矢径指向O点，它是由于平板以角速度转动所引起的向心加速度。2）、3）两项加速度都是由于平板转动所引起的，所以为牵连加速度。222xiyjr222()2yixjωxiyjωvvv24）其方向则垂直于与所决定的平面，在平面问题中，恒沿k方向，故为位于x、y平面内的矢量，其指向由右手螺旋法则决定（如图所示）。这个加速度叫科里奥利加速度，简称科氏加速度。科氏加速度是由于在S系中的观察者看来，牵连运动（即）可使相对速度发生变化，而相对运动（即）又同时使牵连速度中的r发生改变，即科氏加速度是由牵连运动与相对运动相互影响所产生的。如果与两者中有一个为零，则此项加速度为零。故在平面转动参照系中，绝对加速度为相对加速度、牵连加速度及科里奥利加速度三者的矢量和。即：22aaωrrωvtccaaa2taωrr——牵连加速度2caωv——科里奥利加速度注意：科氏加速度必须是质点相对运动和牵连运动同时存在才能产生。vvrωva——相对加速度4.1一等腰直角三角形OAB在其自身平面内以匀角速绕定点O转动，某一点P以相对速度沿AB边运动，当三角形转了一周时，P点走过了AB，如已知，试求P点在A时的绝对速度与绝对加速度。解：如图建立坐标系，P点的牵连速度和相对速度为：bABcossinrrjvvivj22bbv绝对速度为：cos(sin)Avvrvirvj2cos244rbb绝对速度的大小为：22222sin8412Abvvrrvsin(41)cosAyAxvrvtgvv与三角形斜边的夹角。Av为在平面转动参照系中，质点的绝对加速度为：（是一恒矢量）其加速度的大小为：22Atcaaaaarv202cos2sintcaariavivj2(2cos)2sinAarvivj222224cos4221Abarrvv22sin12cos21AyAxavtgarv与三角形斜边的夹角。Aa为4.2空间转动参照系空间转动参照系的角速度的量值和方向都可以改变，转动参照系的原点和静止坐标系S的原点O重合，因此恒通过O点。令i、j、k为固着在系三个坐标轴上的单位矢量，故任一矢量可写为：SSxyzGGiGjGkyzxxyzdGdGdGdGdidjdkijkGGGdtdtdtdtdtdtdt由泊松公式：代入上式得：idjdkijkdtdtdtd**()xyzdGdGdGGiGjGkGdtdtdt*dGdt——相对变化率，G相对于转动参照系的变化。G——牵连变化率，转动参照系绕着O点以角速度转动并带动G一起转动而引起的变化。故在转动参照系中，一个矢量G的绝对变化率，等于相对变化率和牵连变化率的矢量和。如空间转动参照系的原点与固定参照系S的原点O重合，并以角速度绕着O转动，则对S系而言，一个在系中运动的质点P的绝对速度为：S*drdrvrvrdtdt*drvdt——相对速度，是质点P相对于系的速度。Sr——牵连速度，是由于系转动带动r一起转动而引起的速度。S故在转动参照系中，质点的绝对速度等于相对速度和牵连速度的矢量和。现在求质点P对S系的绝对加速度将的表达式代入上式得：*drdrvrvrdtdt*dvdvavdtdtv*2***2()drddrdrarrdtdtdtdt*dardt*dddtdt()2tcdaarrvaaadt*22dradt——相对加速度，是质点P相对系的加速度。S*()2drrdt*ddt——牵连加速度——由的大小发生改变所产生的，如参照系以恒定角速度转动，则此项为零；()tdarrdtdrdt()rSS——是由于系以角速度转动所产生的。2cav——科里奥利加速度是由于质点P对转动的系有一相对速度，从而与相互影响所产生的，若两者平行或有一为零，此项加速度为零。Sv对转动参照系来讲，绝对加速度等于相对加速度、牵连加速度与科里奥利加速度三者的矢量和。注意：绝对速度与绝对加速度都是从静止参照系来观测一个在转动参照系中质点P的速度与加速度的，如果从转动参照系中来看，只能看到相对速度与相对加速度。如果系以匀角速转动，是一恒矢量（量值和方向都不变）以OB表示之，如图所示，故在此情况下，加速度简化为：S0ddt2()Rtar则：22aaRωv对于更一般的情况，即系的原点不与S系的原点o重合，且相对o的速度为，加速度为，则：Soo0v0a0vvvr0()2daaarrvdt式中为质点相对的位矢。or4.3非惯性系动力学（二）一、平面转动参照系相对平面转动参照系运动的质点，它的绝对加速度为：22aaωrrωv22aaωrrωv于是：22maFmωrmrmωv即对平面转动参照系来讲，如果添上三种惯性力：则牛顿运动定律对系在形式上就仍然成立。22mωrmrmωvS现在来看这三种惯性力的物理意义：1)惯性力:——是由于系作变角速转动所引起的，如果转动是匀速的（即的量值是常数），则此项惯性力为零。2)惯性力:——叫做惯性离心力，是由于系的转动所引起的，惯性离心力的量值和平方及质点离开坐标原点O的距离成正比，它的方向自坐标原点O沿矢径向外。如图所示。3)惯性力——叫做科里奥利力，是由于系的转动及质点对此转动参照系又有相对运动所引起的，科里奥利力的量值和系转动的角速度及质点相对于系的速度成正比，方向垂直于及所决定的平面，并按右手螺旋法则及负号决定指向。如图所示。SrωmSr2mvωm2SSSvv例：在一光滑水平直管中，有一质量为m的小球，此管以恒定角速度绕通过管子一端的竖直轴转动，如果起始时，球距转动轴的距离为a，球相对于管子的速度为零，求小球沿管的运动规律及管对小球的约束反作用力。解：①选取非惯性参照系，如图建立坐标系，小球受力分析所示，由平面转动参照系的动力学方程得：22maFmrmωv小球运动微分方程的分量形式为：)3(02)2(0)1(2zyRxmzmmgRymxmxm（1）式的通解：ttBeAex利用初始条件：200aBAxaxtxyzo故小球沿管的运动规律为：由（2）（3）得管对小球的约束反作用力为：)()(2tacheeaxtt)(2)(22222tshmaeeamxmRmgRttzy②选用惯性参照系，建立柱坐标系，小球受力分析如图所示，运动微分方程为：0)2(0)(2mgRzmRrrmFrrmzr因为：=常数，故，则上式简化为：0mgRRrmmrrmz22结果与选用惯性系完全相同。二、空间转动参照系空间转动参照系也是非惯性参照系，所以要加上适当的惯性力后，才能使牛顿运动定律仍然成立。当系的原点与S系的原点o重合，且系绕o点以角速度转动，不一定是恒矢量，则质点对S系的绝对加速度为：SS()2tcaarrvaaa()2tcaarrva-aa于是：()2maFmrmrmvtcmaFmama或：由于选取了非惯性系系，产生了三种惯性力：惯性力：——它与及r垂直，当为常矢量时此项为零。mr惯性力：——它与惯性离心力有关，在任意瞬时它都与该时刻的转动轴垂直，并离开转动轴向外。所以叫离轴惯性力。惯性力：——科里奥利力，它与及所决定的平面垂直。2()mrmR2mωvvS22maFmRmωvSoo0a()2maFamrmrmv0-mro如果系以恒定角速度转动，则相对运动微分方程为：如果系的原点不和S系的原点o重合，且对o的加速度为其相对运动微分方程为：式中是相对的位矢。三、相对平衡如果质点P相对于系不动，则：有相对运动动力学方程得：得：即当质点在非惯性系中处于平衡状态时，主动力、约束反力和由牵连运动而引起的惯性力的矢量和等于零，我们通常把这种平衡叫做相对平衡。在行驶的火车中（系）的观察者，看悬挂在车厢中的小球，就是一个相对平衡问题。000cvaatcmaFmama0tFmaS4.4地球自转所产生的动力学效应考虑地球绕地轴自转时，可认为它的角速度是沿着地轴的一个恒矢量，即，因而只需考虑离轴惯性力和科里奥利力所产生的影响。如果质点相对于地球是静止的，即，则只需考虑离轴惯性力的影响。0ω0v由于离轴惯性力的作用，使重力常小于引力，重力随着纬度λ发生变化，在纬度越小的地方，重力越小，只有在两极的地方，重力和引力才相等。另外，除两极和赤道外重力的方向也不和引力的方向一致，引力的作用线通过地球的球心，而重力的作用线一般并不通过地球的球心。如图所示。在赤道上:λ=0，最大，重力W最小，指向地心；λ↑，Ft↓，重力W↑，方向不指向地心；在南北极：λ=±π/2，Ft=0，重力W最大=F，且